Перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла ромба, делит его сторону пополам. Меньшая диагональ...

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами ромба.

Поскольку перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба, делит его сторону пополам, то мы имеем дело с прямоугольным треугольником. Пусть длина меньшей диагонали ромба равна 12 см, тогда половина стороны ромба равна 6 см.

Теперь мы можем найти длину большей диагонали ромба, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 12 см:

(d = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}) см.

Для нахождения углов ромба воспользуемся свойствами ромба. Углы ромба равны между собой, так что каждый угол ромба будет равен:

(\alpha = \arctan{\frac{12}{6}} = \arctan{2} \approx 63.43^{\circ}).

Таким образом, у нас есть два угла ромба, равных 63.43° каждый.

Чтобы найти периметр ромба, мы можем воспользоваться формулой:

(P = 4a), где (a) - длина стороны ромба.

Подставляя значение (a = 12) см, получаем:

(P = 4 \times 12 = 48) см.

Таким образом, углы ромба равны 63.43°, а периметр ромба равен 48 см.

Для начала рассмотрим свойства ромба и данную задачу. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла ромба на противоположную сторону, делит эту сторону пополам, следовательно, он является медианой и высотой одновременно. Это также означает, что ромб симметричен относительно этой высоты.

Так как меньшая диагональ делится перпендикуляром пополам, каждая из полученных половин меньшей диагонали равна 12/2 = 6 см. Пусть (ABCD) – ромб, (AC) – меньшая диагональ, (O) – точка пересечения диагоналей (и середина каждой из диагоналей, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам). Тогда (OA = OC = 6) см.

Поскольку перпендикуляр делит сторону пополам, сторона (AB) равна двойной длине отрезка от точки (O) до стороны (AB). Пусть (H) – точка пересечения высоты с стороной (AB), тогда (OH) – это высота ромба. Так как (OH) также является медианой, (AH = HB).

Чтобы найти углы ромба, вспомним, что сумма углов при каждой вершине параллелограмма (и ромба в частности) равна 180°. Так как один из углов тупой, другой должен быть острым. Поскольку ромб симметричен относительно (OH), и (OH) является высотой, то углы при основании (A) и (B) равны. Если обозначить острый угол за ( \alpha ), то тупой будет (180° - \alpha).

Теперь найдем значение ( \alpha ), используя тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках (OAH) и (OBH). Из прямоугольного треугольника (OAH): [ \tan(\alpha) = \frac{OH}{OA} ] Однако нам неизвестна высота (OH). Поскольку (OH) также служит половиной второй диагонали (BD), если бы нам была известна вторая диагональ, мы могли бы найти (OH). Но можно использовать теорему Пифагора для нахождения длины высоты: [ AB^2 = OH^2 + OA^2 ] [ AB^2 = OH^2 + 6^2 ] [ AB = 2 \cdot OH ] [ (2 \cdot OH)^2 = OH^2 + 36 ] [ 4OH^2 = OH^2 + 36 ] [ 3OH^2 = 36 ] [ OH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см} ] [ AB = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]

Теперь, имея (OH = 2\sqrt{3}) см, можно найти ( \alpha ): [ \tan(\alpha) = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} ] [ \alpha = 30° ] (так как (\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3})) [ \text{Тупой угол } = 180° - 30° = 150° ]

Периметр ромба равен (4 \times AB = 4 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} ) см.

Таким образом, углы ромба равны 150° и 30°, а периметр равен (16\sqrt{3}) см.