Перпендикуляр опущенный из точки окружности на диметр равен 24 см и делит диаметр в отношении 9:16....

Давайте рассмотрим ситуацию более детально и решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначения и начальные условия:

   • Пусть ( O ) — центр окружности.
   • Пусть ( A ) и ( B ) — концы диаметра ( AB ) окружности.
   • Пусть ( P ) — точка на окружности, из которой опущен перпендикуляр ( PM ) на диаметр ( AB ).
   • Точка ( M ) — точка на диаметре ( AB ), где ( PM ) перпендикулярно ( AB ).
   • Пусть ( r ) — радиус окружности.

2. Длина перпендикуляра:

   • Длина перпендикуляра ( PM ) из точки ( P ) на диаметр ( AB ) равна 24 см.

3. Деление диаметра:

   • ( M ) делит диаметр ( AB ) в отношении 9:16.

Теперь давайте найдем радиус окружности.

Шаг 1: Выразим длины отрезков

Пусть длина отрезка ( AM ) равна ( 9k ), а длина отрезка ( MB ) равна ( 16k ). Тогда: [ AB = AM + MB = 9k + 16k = 25k ]

Так как ( AB ) — это диаметр окружности, то: [ AB = 2r ]

Следовательно: [ 25k = 2r ] [ r = \frac{25k}{2} ]

Шаг 2: Используем свойство прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике ( OMP ) (где ( O ) — центр окружности, ( M ) — точка на диаметре, ( P ) — точка на окружности):

• ( OM ) — это расстояние от центра ( O ) до точки ( M ).
• ( PM ) — перпендикулярное расстояние от точки ( P ) до ( M ) (24 см).

В треугольнике ( OMP ): [ OP = r ] [ OM = |AM - AO| = |9k - \frac{25k}{2}| = \left| \frac{18k}{2} - \frac{25k}{2} \right| = \left| -\frac{7k}{2} \right| = \frac{7k}{2} ]

Шаг 3: Применим теорему Пифагора

В треугольнике ( OMP ): [ OP^2 = OM^2 + PM^2 ] [ r^2 = \left( \frac{7k}{2} \right)^2 + 24^2 ]

Подставим: [ r^2 = \left( \frac{7k}{2} \right)^2 + 576 ] [ r^2 = \frac{49k^2}{4} + 576 ]

Шаг 4: Выразим ( k ) через ( r )

Мы знаем, что: [ r = \frac{25k}{2} ] [ k = \frac{2r}{25} ]

Подставим это значение ( k ) в уравнение: [ r^2 = \frac{49 \left(\frac{2r}{25}\right)^2}{4} + 576 ] [ r^2 = \frac{49 \cdot \frac{4r^2}{625}}{4} + 576 ] [ r^2 = \frac{49r^2}{625} + 576 ]

Умножим все на 625, чтобы избавиться от знаменателя: [ 625r^2 = 49r^2 + 360000 ] [ 625r^2 - 49r^2 = 360000 ] [ 576r^2 = 360000 ] [ r^2 = \frac{360000}{576} ] [ r^2 = 625 ] [ r = \sqrt{625} ] [ r = 25 \text{ см} ]

Ответ:

Радиус окружности равен 25 см.

Пусть радиус окружности равен r. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами r и 24 см гипотенуза (диаметр) равна sqrt(r^2 + 24^2) см.

Согласно условию, отношение частей диаметра равно 9:16, следовательно, r = 9x и 24 = 16x, где x - общий множитель.

Таким образом, r = 9*16 = 144 см.

Ответ: радиус окружности равен 144 см.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством перпендикуляра, опущенного из точки окружности на диаметр. Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к точке касания, будет являться радиусом окружности.

Пусть радиус окружности равен R, тогда высота, опущенная из точки на диаметр, равна R - 24 см.

Из условия задачи известно, что этот перпендикуляр делит диаметр в отношении 9:16. То есть, если обозначить диаметр как D, то получаем:

9x + 16x = D, 25x = D.

Так как D = 2R (диаметр равен удвоенному радиусу), то 25x = 2R, откуда R = 25x / 2.

Теперь подставляем R - 24 вместо 25x / 2:

25x / 2 - 24 = 25x / 2 - 48 = R.

Итак, радиус окружности составляет 25x / 2 - 48 сантиметров.