Периметр ромба равен 28, а один из углов 60 градусов. Найдите площадь ромба
Периметр ромба равен 28, а один из углов 60 градусов. Найдите площадь ромба
Чтобы найти площадь ромба, сначала определим длину его стороны и высоту.
Длина стороны ромба:
Периметр ромба ( P ) равен 28. Учитывая, что у ромба четыре равные стороны, длина каждой стороны ( a ) равна:
[ 4a = 28 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{28}{4} = 7 ]
Высота ромба:
Один из углов ромба равен 60 градусов. Поскольку ромб является параллелограммом, можно использовать формулу для площади параллелограмма, которая основана на произведении стороны и высоты, опущенной на эту сторону. Высота ( h ) ромба связана со стороной и углом следующим образом:
[ h = a \cdot \sin(\alpha) ]
где ( \alpha = 60^\circ ).
Подставляя известные значения, получаем:
[ h = 7 \cdot \sin(60^\circ) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} ]
Площадь ромба:
Теперь, когда мы знаем длину стороны и высоту, площадь ( S ) ромба можно найти по формуле:
[ S = a \cdot h = 7 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{2} ]
Таким образом, площадь ромба равна (\frac{49\sqrt{3}}{2}) квадратных единиц.
Для решения данной задачи нам необходимо знать, что у ромба все стороны равны между собой, а его диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
Пусть сторона ромба равна а. Тогда периметр ромба равен 4а, то есть 4а=28, откуда а=7.
Так как один из углов ромба равен 60 градусов, то другой угол тоже равен 60 градусов, так как сумма углов в ромбе равна 360 градусов.
Ромб можно разбить на 4 равных равнобедренных треугольника. Поэтому мы можем посчитать площадь одного из этих треугольников и умножить ее на 4.
Так как угол треугольника равнобедренного и равен 60 градусам, то треугольник можно разделить на два равнобедренных треугольника. Таким образом, мы получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна стороне ромба, а катеты равны половине диагонали ромба.
Половина диагонали ромба равна 7, так как это половина стороны ромба. Тогда по теореме Пифагора длина другой стороны равна √(7^2 - (7/2)^2) = √(49 - 24.5) = √24.5.
Площадь треугольника равна (7 * √24.5) / 2 = 3.5√24.5.
Таким образом, площадь ромба равна 4 * 3.5√24.5 = 14√24.5.
