Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание — 96. Найдите площадь треугольника.

Для решения данной задачи нам необходимо определить высоту равнобедренного треугольника. Поскольку равнобедренный треугольник делится высотой на два равных прямоугольных треугольника, то можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Обозначим одну из катетов равнобедренного треугольника за x, тогда другой катет также будет равен x. Высоту треугольника обозначим за h. Тогда у нас получится следующая система уравнений:

x^2 + h^2 = a^2 (где a - основание треугольника, равное 96) 2x + h = p (где p - периметр треугольника, равный 196)

Подставляя известные значения, получим:

x^2 + h^2 = 96^2 2x + h = 196

Решив данную систему уравнений, найдем x и h. После этого можно найти площадь равнобедренного треугольника по формуле: S = 0.5 a h.

Для решения задачи найдем сначала длину боковой стороны равнобедренного треугольника. Периметр равнобедренного треугольника выражается формулой:

[ P = a + 2b, ]

где ( a ) — длина основания, а ( b ) — длина боковой стороны. В данном случае ( P = 196 ) и ( a = 96 ). Подставим значения в формулу:

[ 196 = 96 + 2b. ]

Решим уравнение относительно ( b ):

[ 2b = 196 - 96, ] [ 2b = 100, ] [ b = 50. ]

Теперь, когда мы знаем длину боковой стороны, можем найти площадь треугольника. Площадь равнобедренного треугольника можно найти через высоту, проведенную к основанию. Чтобы найти высоту, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному высотой, половиной основания и боковой стороной:

Обозначим высоту через ( h ). Поскольку основание равно 96, половина основания будет равна 48. Применим теорему Пифагора:

[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2, ] [ 50^2 = 48^2 + h^2, ] [ 2500 = 2304 + h^2, ] [ h^2 = 2500 - 2304, ] [ h^2 = 196, ] [ h = \sqrt{196}, ] [ h = 14. ]

Теперь найдем площадь треугольника, используя формулу:

[ S = \frac{1}{2} \times a \times h, ] [ S = \frac{1}{2} \times 96 \times 14, ] [ S = 48 \times 14, ] [ S = 672. ]

Таким образом, площадь треугольника равна 672.

Для решения данной задачи нам нужно найти высоту равнобедренного треугольника, затем по формуле площади треугольника S = 0.5 основание высота получить ответ.

Высота равнобедренного треугольника можно найти, разделив основание на 2 и применив теорему Пифагора для нахождения боковой стороны треугольника. После этого можно найти площадь.