Периметр прямоугольника равен 42 см,а длина его диагонали равен 15 см.Найдите длины сторон прямоугольника?

Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина равна b. Тогда по теореме Пифагора: a^2 + b^2 = 15^2 a + b = 42 Решая систему уравнений, получаем a = 9, b = 33. Длины сторон прямоугольника равны 9 см и 33 см.

Чтобы найти длины сторон прямоугольника при известных периметре и длине диагонали, используем следующие обозначения и формулы.

Обозначим длины сторон прямоугольника как (a) и (b).

1. Периметр прямоугольника выражается формулой: [ P = 2(a + b) ] Из условия задачи известно, что ( P = 42 ) см. Подставим это значение в формулу: [ 2(a + b) = 42 ] Разделим обе части уравнения на 2: [ a + b = 21 ] (\quad) (уравнение 1)

2. Длина диагонали прямоугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора: [ d = \sqrt{a^2 + b^2} ] Из условия задачи известно, что ( d = 15 ) см. Подставим это значение в формулу: [ 15 = \sqrt{a^2 + b^2} ] Возведем обе части уравнения в квадрат: [ 15^2 = a^2 + b^2 ] [ 225 = a^2 + b^2 ] (\quad) (уравнение 2)

Теперь у нас есть две системы уравнений: [ \begin{cases} a + b = 21 \ a^2 + b^2 = 225 \end{cases} ]

Решим эту систему уравнений. Из уравнения 1 выразим ( b ) через ( a ): [ b = 21 - a ]

Подставим это выражение в уравнение 2: [ a^2 + (21 - a)^2 = 225 ] Раскроем скобки и упростим уравнение: [ a^2 + (21 - a)^2 = a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225 ] [ 2a^2 - 42a + 441 = 225 ] Перенесем 225 в левую часть уравнения: [ 2a^2 - 42a + 216 = 0 ] Разделим уравнение на 2: [ a^2 - 21a + 108 = 0 ]

Решим квадратное уравнение методом дискриминанта. Дискриминант ((D)) для уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) равен: [ D = b^2 - 4ac ] Для нашего уравнения ( a = 1 ), ( b = -21 ), ( c = 108 ): [ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 ] [ D = 441 - 432 ] [ D = 9 ]

Теперь найдем корни уравнения: [ a{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ a{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{9}}{2} ] [ a_{1,2} = \frac{21 \pm 3}{2} ]

Найдем значения ( a ): [ a_1 = \frac{21 + 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 ] [ a_2 = \frac{21 - 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 ]

Соответственно, для каждого значения ( a ) найдем ( b ) из уравнения ( b = 21 - a ): Если ( a = 12 ), то: [ b = 21 - 12 = 9 ]

Если ( a = 9 ), то: [ b = 21 - 9 = 12 ]

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 12 см и 9 см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться знанием о свойствах прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника равна (a), а ширина равна (b). Тогда периметр прямоугольника равен (2a + 2b = 42), а диагональ (d = \sqrt{a^2 + b^2} = 15).

Решим систему уравнений: (2a + 2b = 42), (a^2 + b^2 = 225).

Разложим первое уравнение на два уравнения: (a + b = 21), (a = 21 - b).

Подставим (a) во второе уравнение: ((21 - b)^2 + b^2 = 225), (441 - 42b + b^2 + b^2 = 225), (2b^2 - 42b + 216 = 0), (b^2 - 21b + 108 = 0), ((b - 9)(b - 12) = 0).

Таким образом, получаем два возможных варианта для (b): (b = 9) или (b = 12).

Если (b = 9), то (a = 12). Если (b = 12), то (a = 9).

Итак, длины сторон прямоугольника могут быть либо 12 см и 9 см, либо 9 см и 12 см.