Периметр осевого сечения цилиндра равен 36 см. Диагональ осевого сечения составляет с образующей цилиндра...

Периметр осевого сечения цилиндра равен 36 см. Диагональ осевого сечения составляет с образующей цилиндра угол 45 градусов. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72 кв. см.

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нам необходимо определить его радиус ( r ) и высоту ( h ). Давайте разберемся с данными, которые у нас есть, и используем их для вычислений.

Дано:

1. Периметр осевого сечения цилиндра равен 36 см.
2. Диагональ осевого сечения составляет с образующей цилиндра угол 45°.

Шаг 1: Осевое сечение цилиндра

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра ( h ), а другая — удвоенному радиусу ( 2r ).

Шаг 2: Периметр осевого сечения

Периметр прямоугольника определяется как сумма всех его сторон: [ P = 2h + 2 \cdot 2r = 2h + 4r ]

Нам дано, что периметр равен 36 см: [ 2h + 4r = 36 ]

Шаг 3: Угол между диагональю и образующей

Диагональ осевого сечения образует с образующей цилиндра угол 45°. Это означает, что треугольник, образованный высотой ( h ), удвоенным радиусом ( 2r ) и диагональю ( d ), является прямоугольным треугольником с углом 45°.

В прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны, следовательно: [ h = 2r ]

Шаг 4: Подстановка и решение уравнений

Подставим ( h = 2r ) в уравнение для периметра: [ 2(2r) + 4r = 36 ] [ 4r + 4r = 36 ] [ 8r = 36 ] [ r = \frac{36}{8} = 4.5 \, \text{см} ]

Теперь, зная ( r ), найдем ( h ): [ h = 2r = 2 \cdot 4.5 = 9 \, \text{см} ]

Шаг 5: Площадь боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле: [ S_{\text{боковая}} = 2\pi rh ]

Подставим найденные значения ( r ) и ( h ): [ S{\text{боковая}} = 2 \pi \cdot 4.5 \cdot 9 ] [ S{\text{боковая}} = 81 \pi ]

Ответ:

Площадь боковой поверхности цилиндра равна ( 81 \pi ) квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения длины окружности основания цилиндра: ( C = 2\pi r ), где r - радиус основания цилиндра.

Из условия задачи мы знаем, что периметр осевого сечения цилиндра равен 36 см, а диагональ осевого сечения образует угол 45 градусов с образующей цилиндра. Так как диагональ - это гипотенуза, то можем записать: ( C = 36 = 2\pi r ), ( r = \frac{36}{2\pi} = \frac{18}{\pi} ).

Далее, найдем длину образующей цилиндра: ( l = r \cdot \sqrt{2} = \frac{18}{\pi} \cdot \sqrt{2} ).

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра по формуле: ( S = 2\pi r \cdot l = 2\pi \cdot \frac{18}{\pi} \cdot \sqrt{2} = 36\sqrt{2} ) см².

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна 36√2 см².