Параллельно оси цилиндра, на расстоянии d от нее, проведена плоскость, отсекающая от окружности основания...

S = 2πr^2 + 2πrd + a(b)

Для того чтобы решить задачу, нужно последовательно разобраться с несколькими геометрическими аспектами:

1. Определение сечения цилиндра:

   • Цилиндр имеет основание в виде круга с радиусом ( R ).
   • Плоскость, параллельная оси цилиндра, проходит на расстоянии ( d ) от оси.

2. Определение дуги и хорды:

   • Плоскость, проходящая на расстоянии ( d ) от оси цилиндра, пересекает круг основания по хорде.
   • Пусть длина этой хорды составляет ( 2a ).

3. Вычисление длины хорды:

   • Используя теорему Пифагора в треугольнике, образованном радиусом, хордой и расстоянием ( d ) от центра круга до хорды, получаем: [ R^2 = d^2 + a^2 ]
   • Отсюда: [ a = \sqrt{R^2 - d^2} ]

4. Площадь боковой поверхности цилиндра:

   • Высота цилиндра обозначим как ( h ).
   • Площадь боковой поверхности ( S{\text{бок}} ) цилиндра рассчитывается по формуле: [ S{\text{бок}} = 2\pi R h ]

5. Площадь основания цилиндра:

   • Площадь одного основания ( S{\text{осн}} ) цилиндра: [ S{\text{осн}} = \pi R^2 ]
   • Площадь двух оснований: [ S_{\text{осн, общ}} = 2 \pi R^2 ]

6. Полная поверхность цилиндра:

   • Полная поверхность цилиндра ( S{\text{полная}} ) включает площадь боковой поверхности и площадь двух оснований: [ S{\text{полная}} = S{\text{бок}} + S{\text{осн, общ}} ]
   • Подставив значения, получаем: [ S_{\text{полная}} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R (h + R) ]

Таким образом, полная площадь поверхности цилиндра зависит только от радиуса основания ( R ) и высоты ( h ) цилиндра и не зависит от угла ( b ) и длины дуги ( a ), которые даны в условии.

Ответ: ( S_{\text{полная}} = 2\pi R (h + R) ).

Для нахождения полной поверхности цилиндра, отсекаемую плоскостью, нужно вычислить площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину дуги, которую отсекает плоскость. Таким образом, Sб = 2πrh, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.

Площадь каждого из оснований цилиндра равна площади круга с радиусом r. Sосн = πr^2.

Теперь нужно найти длину диагонали сечения. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: d^2 + (2r)^2 = L^2, где d - расстояние от оси цилиндра до плоскости, r - радиус цилиндра, L - диагональ сечения. Раскрыв скобки и выразив L, получаем L = sqrt(d^2 + 4r^2).

Также известно, что диагональ сечения составляет угол b с образующей цилиндра. Поэтому можем записать tg(b) = r / d, откуда r = d * tg(b).

Теперь можем найти площадь полной поверхности цилиндра: Sпол = Sб + 2 * Sосн = 2πrh + 2πr^2 = 2πr(h + r).

Подставим найденное значение r = d tg(b) в формулу для Sпол и получим Sпол = 2πd(d tg(b) + h).