Отрезок АВ, концы которого лежат на арзных окружностях оснований цилиндра, пересекает ось цилиндра под...

Для начала определим радиус основания цилиндра. Пусть радиус одной из окружностей равен r. Тогда отрезок АВ, который является диаметром окружности, равен 2r. Учитывая, что длина отрезка АВ равна 4√3, получаем уравнение:

2r = 4√3 r = 2√3

Теперь найдем высоту цилиндра. Поскольку отрезок АВ пересекает ось цилиндра под углом 30 градусов, то треугольник, образованный этим отрезком и осью цилиндра, является равнобедренным. Следовательно, высота цилиндра равна:

h = 2r sin(30°) = 2 2√3 * 1/2 = 2√3

Теперь можем найти объем цилиндра. Формула объема цилиндра:

V = π r^2 h = π (2√3)^2 2√3 = 12π

Таким образом, объем цилиндра равен 12π.

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть цилиндр, ось которого вертикальна, и отрезок ( AB ), который пересекает эту ось под углом ( 30^\circ ). Длина отрезка ( AB ) равна ( 4\sqrt{3} ).

Чтобы найти объем цилиндра, необходимо определить его радиус ( R ) и высоту ( h ).

1. Положение отрезка ( AB ): Отрезок ( AB ) пересекает ось цилиндра под углом ( 30^\circ ). Это значит, что проекция отрезка на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, равна ( AB \cdot \cos(30^\circ) ), а проекция на ось цилиндра равна ( AB \cdot \sin(30^\circ) ).

2. Длины проекций: [ \text{Проекция на ось цилиндра (высота): } h = 4\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} ]

   [ \text{Проекция на плоскость основания (горизонтальная проекция): } \text{горизонтальная проекция} = 4\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 ]

   Горизонтальная проекция отрезка ( AB ) равна диаметру основания цилиндра, так как концы отрезка лежат на окружностях оснований цилиндра.

3. Радиус основания цилиндра: [ \text{Диаметр основания} = 6 \Rightarrow R = \frac{6}{2} = 3 ]

4. Объем цилиндра: Объем цилиндра ( V ) определяется как: [ V = \pi R^2 h ]

   Подставим найденные значения радиуса и высоты: [ V = \pi \cdot 3^2 \cdot 2\sqrt{3} = \pi \cdot 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\pi\sqrt{3} ]

Таким образом, объем цилиндра равен ( 18\pi\sqrt{3} ).