Отрезок AD - диаметр окружности с центром в точке О. На окружности отмечены точки В и С так, что хорды АВ, ВС и СD равны. Найдите величину угла АОС.
Отрезок AD - диаметр окружности с центром в точке О. На окружности отмечены точки В и С так, что хорды АВ, ВС и СD равны. Найдите величину угла АОС.
Чтобы найти величину угла ( \angle AOC ) в данной задаче, разберем ситуацию шаг за шагом.
Диаметр и центральный угол: Диаметр ( AD ) делит окружность на две равные дуги, каждая из которых равна ( 180^\circ ). Соответственно, ( \angle AOD = 180^\circ ).
Равные хорды и их дуги: Если хорды ( AB, BC, ) и ( CD ) равны, то соответствующие им дуги тоже равны (так как длина хорды пропорциональна центральному углу, который она высекает). Пусть каждая из этих дуг равна ( x^\circ ). Так как ( AB, BC, CD ) составляют всё окружность, сумма их дуг равна ( 360^\circ ): [ x + x + x = 360^\circ. ] Отсюда ( x = 120^\circ ).
Центральные углы: Центральный угол, опирающийся на дугу ( AB ), равен ( \angle AOB = x = 120^\circ ). Также ( \angle BOC = 120^\circ ), так как дуга ( BC ) также равна ( x ).
Угол ( \angle AOC ): Угол ( \angle AOC ) является суммой углов ( \angle AOB ) и ( \angle BOC ): [ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 120^\circ + 120^\circ = 240^\circ. ]
Величина угла ( \angle AOC ) равна ( \boxed{240^\circ} ).
Для решения задачи начнем с того, что нам даны следующие элементы:
Пусть длина каждой хорды равна ( x ). Так как ( AD ) является диаметром окружности, то по теореме о диаметре (теорема о круге) угол, опирающийся на диаметр, будет равен ( 90^\circ ). Это означает, что углы ( AOB ) и ( COD ) будут прямыми.
Теперь рассмотрим треугольники ( AOB ) и ( COD ):
По теореме о равенстве хорд и углов, мы можем связать углы с длинами хорд. Углы, опирающиеся на равные хорды, также равны. Обозначим угол ( AOB ) как ( \alpha ) и угол ( COD ) как ( \beta ).
Так как хорды ( AB ), ( BC ) и ( CD ) равны, мы можем утверждать, что: [ \alpha = \beta. ]
Теперь рассмотрим угол ( AOC ). Угол ( AOC ) можно выразить как сумму углов ( AOB ) и ( BOC ): [ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC. ]
Мы знаем, что ( \angle AOB = 90^\circ ). Чтобы найти ( \angle BOC ), мы можем использовать свойства равных хорд. Так как ( AB = BC = CD ), то угол ( BOC ) будет равен углу ( AOB ) по теореме о равных хорд и равных углах.
Таким образом: [ \angle BOC = \alpha. ]
Следовательно, если обозначить угол ( AOC ) как ( \theta ), то: [ \theta = \angle AOB + \angle BOC = 90^\circ + \alpha. ]
Но так как ( \alpha ) также равен углу ( COD ), который составляет ( \angle AOD ) (вместе с углом ( AOB ) составляет полный угол), мы можем заключить, что: [ \angle AOC + \angle AOD = 180^\circ. ]
Так что: [ \theta + (90^\circ + \alpha) = 180^\circ. ]
Теперь мы можем выразить угол ( AOC ) через угол ( \alpha ): [ \theta = 180^\circ - (90^\circ + \alpha) = 90^\circ - \alpha. ]
Таким образом, мы можем утверждать, что угол ( AOC ) является углом, который равен ( 90^\circ ) минус угол, опирающийся на равные хорды.
В итоге, если ( AD ) является диаметром, а ( AB ), ( BC ) и ( CD ) равны, то угол ( AOC ) можно найти как: [ \angle AOC = 90^\circ. ]
Таким образом, ответ на вопрос: величина угла ( AOC = 90^\circ ).
Пусть длина каждой из хорд ( AB ), ( BC ) и ( CD ) равна ( x ). Поскольку ( AD ) является диаметром, угол ( AOD ) равен ( 180^\circ ). По свойству равных хорд отрезки, проведенные из центра окружности к концам хорд, равны, и углы ( AOB ), ( BOC ) и ( COD ) равны.
Обозначим угол ( AOB = BOC = COD = \alpha ). Тогда:
[ AOD = AOB + BOC + COD = 3\alpha ]
Поскольку ( AOD = 180^\circ ), получаем:
[ 3\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 60^\circ ]
Таким образом, величина угла ( AOC = AOB + BOC = \alpha + \alpha = 2\alpha = 120^\circ ).
Ответ: угол ( AOC = 120^\circ ).
