Отрезки MN и KP пересекаются в их середине O. Докажите, что KM || PN

Для доказательства утверждения, что ( KM \parallel PN ), воспользуемся свойствами средних линий и параллельности. Давайте разберём задачу по шагам.

Дано:

1. Отрезки ( MN ) и ( KP ) пересекаются в точке ( O ), которая является их серединой.
2. Требуется доказать, что ( KM \parallel PN ).

Доказательство:

1. Обозначим координаты точек для большей ясности: Пусть:

   • ( M ) и ( N ) — концы одного отрезка (( MN )),
   • ( K ) и ( P ) — концы другого отрезка (( KP )),
   • ( O ) — точка пересечения, которая является серединой каждого из отрезков.

   Таким образом: [ O \text{ — середина отрезка } MN \implies OM = ON, ] и [ O \text{ — середина отрезка } KP \implies OK = OP. ]

2. Запишем векторное представление отрезков:

   • Вектор ( \vec{MN} ) — направлен от точки ( M ) к точке ( N ): [ \vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}. ]
   • Вектор ( \vec{KP} ) — направлен от точки ( K ) к точке ( P ): [ \vec{KP} = \vec{OP} - \vec{OK}. ]

3. Рассмотрим векторы ( \vec{KM} ) и ( \vec{PN} ):

   • Вектор ( \vec{KM} ) направлен от точки ( K ) к точке ( M ): [ \vec{KM} = \vec{OM} - \vec{OK}. ]
   • Вектор ( \vec{PN} ) направлен от точки ( P ) к точке ( N ): [ \vec{PN} = \vec{ON} - \vec{OP}. ]

4. Покажем, что векторы ( \vec{KM} ) и ( \vec{PN} ) коллинеарны: Подставим выражения для ( \vec{OM} ), ( \vec{ON} ), ( \vec{OK} ), ( \vec{OP} ). Учтём, что ( O ) — середина каждого из отрезков, поэтому: [ \vec{ON} = -\vec{OM} \quad \text{и} \quad \vec{OP} = -\vec{OK}. ] Подставляем эти равенства в выражения для ( \vec{KM} ) и ( \vec{PN} ): [ \vec{KM} = \vec{OM} - \vec{OK}, ] [ \vec{PN} = -\vec{OM} - (-\vec{OK}) = -\vec{OM} + \vec{OK} = \vec{KM}. ]

   Таким образом, векторы ( \vec{KM} ) и ( \vec{PN} ) равны (или противоположны по направлению), а значит, они коллинеарны: [ \vec{KM} \parallel \vec{PN}. ]

5. Вывод: Поскольку векторы ( \vec{KM} ) и ( \vec{PN} ) коллинеарны, то прямые ( KM ) и ( PN ) также параллельны.

Ответ:

Доказано, что ( KM \parallel PN ).

Если отрезки MN и KP пересекаются в их серединах O, то точки M и N находятся на одной прямой, а точки K и P — на другой. Это значит, что отрезки MO и ON равны, а также отрезки KO и OP равны.

По свойству средних линий в трапеции, если две линии пересекаются в их серединах, то они параллельны. Таким образом, KM || PN.

Чтобы доказать, что отрезки ( KM ) и ( PN ) параллельны, рассмотрим данную ситуацию:

1. Обозначение точек: Пусть точки ( M ), ( N ), ( K ) и ( P ) расположены в пространстве, и отрезки ( MN ) и ( KP ) пересекаются в точке ( O ), которая является их серединой.

2. Середины отрезков: Поскольку ( O ) — середина отрезка ( MN ), это означает, что ( MO = ON ). Аналогично, поскольку ( O ) — середина отрезка ( KP ), имеем ( KO = OP ).

3. Векторное представление: Запишем векторные равенства для точек. Пусть ( \vec{M} ), ( \vec{N} ), ( \vec{K} ), ( \vec{P} ) — векторные представления точек ( M ), ( N ), ( K ) и ( P ) соответственно. Тогда:

   [ \vec{O} = \frac{\vec{M} + \vec{N}}{2} \quad \text{и} \quad \vec{O} = \frac{\vec{K} + \vec{P}}{2} ]

4. Равенство векторов: Из этих равенств следует, что:

   [ \frac{\vec{M} + \vec{N}}{2} = \frac{\vec{K} + \vec{P}}{2} ]

   Умножив обе стороны на 2, получаем:

   [ \vec{M} + \vec{N} = \vec{K} + \vec{P} ]

5. Параллельность векторов: Теперь выразим векторные разности:

   [ \vec{M} - \vec{K} = \vec{P} - \vec{N} ]

   Это значит, что векторы ( \vec{KM} ) и ( \vec{PN} ) равны по длине и направлению, что в свою очередь указывает на то, что отрезки ( KM ) и ( PN ) параллельны.

6. Заключение: Таким образом, по критерию равенства векторов мы доказали, что отрезки ( KM ) и ( PN ) являются параллельными. Это завершает доказательство.

Таким образом, мы показали, что отрезки ( KM ) и ( PN ) действительно параллельны, используя свойства середин отрезков и векторное представление.