Отрезки МЕ и РК пересекаются в точке D, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что: а) треугольники...

Чтобы доказать утверждения, начнем с анализа данных. У нас есть отрезки ( ME ) и ( RK ), которые пересекаются в точке ( D ), которая является серединой каждого из этих отрезков. Это значит, что ( MD = DE ) и ( RD = DK ).

а) Докажем равенство треугольников ( \triangle PDE ) и ( \triangle KDM ).

1. По условию имеем ( MD = DE ) и ( RD = DK ).
2. Точка ( D ) является общей для треугольников, поэтому ( \angle PDE = \angle KDM ).

Теперь можем применить второе свойство равенства треугольников по стороне и углу (по признаку SAS — сторона, угол, сторона):

• ( PD = KD ) (так как ( D ) — середина ( RK ))
• ( \angle PDE = \angle KDM )
• ( DE = MD )

Следовательно, ( \triangle PDE \cong \triangle KDM ) по признаку SAS.

б) Докажем, что углы ( \angle PED ) и ( \angle KMD ) равны.

Из равенства треугольников ( \triangle PDE ) и ( \triangle KDM ), мы знаем, что соответствующие элементы этих треугольников равны. Поэтому:

• ( \angle PDE = \angle KDM ) по определению равенства треугольников.

Таким образом, мы доказали оба утверждения:

а) Треугольники ( \triangle PDE ) и ( \triangle KDM ) равны. б) Углы ( \angle PED ) и ( \angle KMD ) равны.

Для начала рассмотрим треугольники PED и KMD. Так как точка D является серединой отрезков МЕ и РК, то отрезки PD и KD равны, а также отрезки DE и DM равны. Таким образом, у треугольников PED и KMD одна сторона (PD = KD), другая сторона (DE = DM) и угол между ними (угол EKD = угол DMP) равны. Следовательно, по критерию равенства треугольников они равны.

Теперь рассмотрим углы PED и KMD. Так как треугольники PED и KMD равны, то у них соответственно равны углы EDP и KDM. Также, углы EDP и KDM - вертикально противоположные углы, а значит они равны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники PED и KMD равны, а углы PED и KMD равны.