Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 17 см и катетом...

Для нахождения объема призмы нужно умножить площадь основания на высоту. Площадь прямоугольного треугольника равна 1/2 a b, где a и b - катеты. Таким образом, площадь основания равна 1/2 8 17 = 68 см^2. Высота призмы равна радиусу окружности, описанной вокруг основания, то есть равна 8 см. Объем призмы будет равен 68 * 8 = 544 см^3.

Для решения задачи найдем объем прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой 17 см и катетом 8 см. Высота призмы равна радиусу окружности, описанной около основания призмы.

1. Определим второй катет треугольника: ( a = 8 ) см (известный катет), ( c = 17 ) см (гипотенуза).

   Используем теорему Пифагора для нахождения второго катета ( b ): [ c^2 = a^2 + b^2 ] [ 17^2 = 8^2 + b^2 ] [ 289 = 64 + b^2 ] [ b^2 = 225 ] [ b = \sqrt{225} = 15 \text{ см} ]

2. Найдем площадь основания треугольника: Основание треугольника является прямоугольным, поэтому его площадь вычисляется как половина произведения катетов: [ S{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ] [ S{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 ] [ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60 \text{ см}^2 ]

3. Найдем радиус окружности, описанной около основания: Для прямоугольного треугольника радиус окружности, описанной около него, равен половине гипотенузы: [ R = \frac{c}{2} ] [ R = \frac{17}{2} = 8.5 \text{ см} ]

4. Высота призмы равна радиусу окружности, то есть 8.5 см.

5. Найдем объем призмы: Объем призмы определяется как произведение площади основания на высоту: [ V = S_{\text{основания}} \cdot h ] [ V = 60 \text{ см}^2 \cdot 8.5 \text{ см} ] [ V = 510 \text{ см}^3 ]

Итак, объем прямой треугольной призмы равен ( 510 \text{ см}^3 ).

Для начала найдем катет в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - катеты, c - гипотенуза. Подставляем известные значения:

8^2 + b^2 = 17^2, 64 + b^2 = 289, b^2 = 289 - 64, b^2 = 225, b = √225, b = 15.

Теперь найдем радиус окружности, описанной вокруг основания призмы. Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть r = 17/2 = 8.5 см.

Объем прямоугольной призмы вычисляется по формуле:

V = S * h,

где S - площадь основания призмы, h - высота призмы. Площадь прямоугольного треугольника равна S = (a * b) / 2, где a и b - катеты. Подставляем известные значения:

S = (8 * 15) / 2 = 60 см^2.

Таким образом, объем призмы равен:

V = 60 * 8.5 = 510 см^3.