Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите: а) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда.
а) Меньшая высота параллелограмма равна a; б) Угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания равен 45°; в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 6a^2; г) Площадь поверхности параллелепипеда равна 10a^2.
Для решения задачи, связанной с прямым параллелепипедом и параллелограммом, начнем с анализа параметров параллелограмма и параллелепипеда.
Параллелограмм ABCD имеет стороны, равные ( a ) и ( 2a ), и острый угол ( \angle BAD = 45^\circ ). Высота параллелограмма, опущенная на сторону ( a ), обозначим её ( h ).
Высота ( h ) вычисляется по формуле: [ h = 2a \cdot \sin(45^\circ) = 2a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}. ]
Теперь найдём высоту, опущенную на сторону ( 2a ): [ h' = a \cdot \sin(45^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}. ]
Меньшая высота ( h' = \frac{a\sqrt{2}}{2} ).
Плоскость ( ABC_1 ) состоит из векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC_1} ). Плоскость основания ( ABCD ) состоит из векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AD} ).
Вектор ( \vec{AC_1} ) можно выразить как сумму ( \vec{AC} + \vec{CC_1} ). Вектор ( \vec{CC_1} ) перпендикулярен основанию и равен высоте параллелепипеда, которая равна меньшей высоте параллелограмма ( \frac{a\sqrt{2}}{2} ).
Для нахождения угла между плоскостями используем косинус угла между нормалями к плоскостям. Нормаль к плоскости ( ABCD ) — это вектор ( \vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AD} ). Нормаль к плоскости ( ABC_1 ) — это вектор ( \vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} ).
Так как вектор ( \vec{CC_1} ) перпендикулярен основанию, угол между плоскостями ( ABC_1 ) и ( ABCD ) равен углу между вектором ( \vec{AC} ) и вектором ( \vec{AC_1} ), который равен 90°.
Боковая поверхность параллелепипеда состоит из 4 прямоугольников. Рассмотрим пары противоположных сторон: ( AB ) и ( AD ) с высотой равной меньшей высоте параллелограмма.
Площадь боковой поверхности: [ 2 \times (AB \cdot h' + AD \cdot h') = 2 \times (a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} + 2a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}) = 2 \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times 3 = 3a^2\sqrt{2}. ]
Полная поверхность параллелепипеда включает площадь основания и боковой поверхности. Площадь основания: [ S_{base} = a \cdot 2a \cdot \sin(45^\circ) = 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2\sqrt{2}. ]
Полная площадь поверхности: [ 2 \times S_{base} + 3a^2\sqrt{2} = 2a^2\sqrt{2} + 3a^2\sqrt{2} = 5a^2\sqrt{2}. ]
Таким образом, ответы на вопросы: a) Меньшая высота параллелограмма: (\frac{a\sqrt{2}}{2}). b) Угол между плоскостью ( ABC_1 ) и плоскостью основания: (90^\circ). c) Площадь боковой поверхности: (3a^2\sqrt{2}). d) Площадь поверхности параллелепипеда: (5a^2\sqrt{2}).
а) Пусть меньшая высота параллелограмма равна h. Тогда применив теорему Пифагора к треугольнику АВС, получим: (2a)^2 = a^2 + h^2 4a^2 = a^2 + h^2 3a^2 = h^2 h = a√3
б) Угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания равен углу между векторами нормалей к этим плоскостям. Вектор нормали к плоскости АВС1 равен векторному произведению векторов AC и AS, где S - вершина параллелепипеда. Так как угол в плоскости АВС равен 45°, то угол между векторами AC и AS также равен 45°. Тогда скалярное произведение векторов AC и AS равно |AC| |AS| cos(45°) = 2a a cos(45°) = 2a^2 * cos(45°).
в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его боковых граней. Площадь каждой боковой грани равна произведению длины и высоты, то есть a h. Таким образом, общая площадь боковой поверхности равна 4 a h = 4 a * a√3 = 4a^2√3.
г) Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. Площадь каждой грани можно найти как произведение длины и ширины. Площадь основания параллелепипеда ABCD равна a 2a = 2a^2, площадь верхнего основания A1B1C1D1 также равна 2a^2, площадь боковой поверхности мы уже нашли в пункте в). Таким образом, общая площадь поверхности параллелепипеда равна 2 (2a^2 + 2a^2 + 4a^2√3) = 4a^2 + 8a^2√3.
