.Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим углом 30 градусов....

Чтобы найти объем пирамиды, начнем с анализа ее основания и боковых ребер.

1. Основание пирамиды — это прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим к этому катету углом 30 градусов. Давайте обозначим катеты треугольника как ( a = 5 ) см и ( b ), а гипотенузу как ( c ).

2. Определение второго катета ( b ):

   • В прямоугольном треугольнике, где один из углов 30 градусов, противолежащий катет равен половине гипотенузы. Следовательно, если угол 30 градусов прилежит к катету ( a = 5 ) см, то: [ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{c} ] [ b = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

3. Определение гипотенузы ( c ):

   • Поскольку ( a = 5 ) см, и мы знаем, что: [ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \frac{a}{c} ] [ c = \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{0.5} = 10 \text{ см} ]

4. Определение второго катета ( b ): [ b = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см} ]

5. Площадь основания ( S_{\text{осн}} ):

   • Площадь прямоугольного треугольника: [ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5\sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 ]

6. Высота пирамиды ( h ):

   • Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Это означает, что если мы проведем высоту из вершины пирамиды к центру основания, то она образует с боковым ребром угол 45 градусов.
   • Высота является противолежащим катетом в прямоугольном треугольнике, где боковое ребро — это гипотенуза. Если обозначить боковое ребро как ( l ), то: [ \sin 45^\circ = \frac{h}{l} = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ h = l \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

7. Определение длины бокового ребра ( l ):

   • Боковое ребро наклонено под углом 45 градусов, и оно равно расстоянию от центра окружности, описанной вокруг основания, до вершины пирамиды. Центр окружности описан около треугольника, который является его серединой гипотенузы, то есть ( \frac{c}{2} = 5 ).
   • Таким образом, ( l = 5 \sqrt{2} ).

8. Высота пирамиды ( h ): [ h = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 ]

9. Объем пирамиды ( V ):

   • Формула объема пирамиды: [ V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{125\sqrt{3}}{6} \text{ см}^3 ]

Таким образом, объем пирамиды равен (\frac{125\sqrt{3}}{6}) кубических сантиметров.

Для нахождения объема пирамиды сначала найдем высоту пирамиды.

Так как у нас прямоугольный треугольник, то мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения высоты. Высота пирамиды равна произведению катета прямоугольного треугольника на синус угла между катетом и гипотенузой: h = 5 см sin 30° = 5 см 0,5 = 2,5 см

Теперь можем найти объем пирамиды, используя формулу: V = 1/3 S h

Где S - площадь основания пирамиды, которую можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: S = 1/2 a b = 1/2 5 см 5 см = 12,5 см^2

Теперь можем найти объем: V = 1/3 12,5 см^2 2,5 см = 10,42 см^3

Ответ: объем пирамиды равен 10,42 кубических сантиметров.

Объем пирамиды равен 25 кубическим сантиметрам.