Основание трапеции равны 8 и 15. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции...

Для решения задачи о трапеции с основаниями, равными 8 и 15, и нахождения отрезков, на которые одна из диагоналей делит среднюю линию, воспользуемся свойствами средней линии трапеции и теорией о пропорциональности отрезков.

1. Определение средней линии: Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон и параллельный основаниям. Длина средней линии ( m ) вычисляется по формуле: [ m = \frac{a + b}{2} ] где ( a ) и ( b ) — длины оснований. В нашем случае: [ m = \frac{8 + 15}{2} = \frac{23}{2} = 11.5 ]

2. Пусть трапеция ABCD имеет основания AB (длина 15) и CD (длина 8). Обозначим середины боковых сторон AD и BC как точки M и N соответственно. Средняя линия MN будет равна 11.5.

3. Определение диагоналей: Рассмотрим диагональ AC. Она делит среднюю линию MN на два отрезка, которые мы обозначим как ( x ) и ( y ), где ( x ) — это отрезок, который лежит ближе к основанию AB, а ( y ) — к основанию CD.

4. Применение свойства диагоналей: По свойству трапеций, если диагональ пересекает среднюю линию, то отрезки, на которые она делит эту линию, пропорциональны основаниям. То есть: [ \frac{x}{y} = \frac{a}{b} ] где ( a = 15 ) (основание AB), ( b = 8 ) (основание CD). Таким образом, мы можем записать: [ \frac{x}{y} = \frac{15}{8} ]

5. Сумма отрезков: Поскольку ( x + y = 11.5 ), можно выразить ( y ) через ( x ): [ y = 11.5 - x ]

6. Подставляем в пропорцию: [ \frac{x}{11.5 - x} = \frac{15}{8} ]

7. Решаем уравнение: Перемножим крест-накрест: [ 8x = 15(11.5 - x) ] Раскроем скобки: [ 8x = 172.5 - 15x ] Приведем подобные: [ 8x + 15x = 172.5 ] [ 23x = 172.5 ] [ x = \frac{172.5}{23} = 7.5 ]

8. Находим y: Подставим значение ( x ) для нахождения ( y ): [ y = 11.5 - 7.5 = 4 ]

Таким образом, отрезки, на которые диагональ AC делит среднюю линию MN, составляют 7.5 и 4. Больший из них равен 7.5.

Для решения задачи сначала разберёмся с понятием средней линии трапеции и её свойствами, а затем выясним, как диагональ делит эту линию.

Свойства средней линии трапеции:

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Она обладает следующими свойствами:

1. Средняя линия параллельна основаниям трапеции.
2. Её длина равна полусумме длин оснований трапеции: [ l = \frac{a + b}{2}, ] где (a) и (b) — длины оснований трапеции.

В нашей задаче основания трапеции равны (a = 8) и (b = 15). Тогда длина средней линии: [ l = \frac{8 + 15}{2} = \frac{23}{2} = 11.5. ]

Разбиение средней линии диагональю:

Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка, длины которых пропорциональны длинам оснований трапеции. Это связано с тем, что диагонали трапеции делят её на два треугольника, и в каждом из них средняя линия оказывается разделена в той же пропорции, что и основания трапеции.

Таким образом, длины частей средней линии будут пропорциональны основаниям (8) и (15). Пусть длины отрезков средней линии равны (x) и (y), где (x) — меньший отрезок, а (y) — больший отрезок. Тогда: [ \frac{x}{y} = \frac{8}{15}. ] Или, эквивалентно: [ y = \frac{15}{8}x. ]

Так как общая длина средней линии равна (x + y = 11.5), подставим выражение для (y): [ x + \frac{15}{8}x = 11.5. ]

Приведём к общему знаменателю: [ \frac{8x + 15x}{8} = 11.5, ] [ \frac{23x}{8} = 11.5. ]

Умножим обе части уравнения на 8: [ 23x = 92. ]

Найдём (x): [ x = \frac{92}{23} = 4. ]

Теперь найдём (y): [ y = 11.5 - x = 11.5 - 4 = 7.5. ]

Ответ:

Большее из двух отрезков, на которые диагональ делит среднюю линию трапеции, равно 7.5.