Основание прямой призмы - параллелограмм со сторонами 8 и 15 см и углом 120 градусов. Боковая поверхность...

Для решения задачи начнем с анализа данных и характеристик прямой призмы и ее основания.

Анализ основания призмы

Основание призмы — параллелограмм со сторонами ( a = 8 ) см и ( b = 15 ) см, и углом ( \alpha = 120^\circ ).

1. Найдем площадь основания параллелограмма ( S_{\text{осн}} ): Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: [ S{\text{осн}} = a \cdot b \cdot \sin \alpha ] Подставим значения: [ S{\text{осн}} = 8 \cdot 15 \cdot \sin 120^\circ = 8 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \, \text{кв.см} ]

2. Найдем высоту призмы ( h ): Площадь боковой поверхности призмы равна ( 460 \, \text{кв. см} ). Поскольку боковая поверхность прямой призмы представляет собой сумму площадей боковых прямоугольников, можно выразить площадь боковой поверхности через периметр основания и высоту: [ S_{\text{бок}} = P \cdot h ] где ( P ) — периметр основания. Периметр параллелограмма равен: [ P = 2a + 2b = 2 \cdot 8 + 2 \cdot 15 = 46 \, \text{см} ] Теперь найдем высоту ( h ): [ 460 = 46h \implies h = \frac{460}{46} = 10 \, \text{см} ]

Сечение призмы

Нам нужно найти площадь сечения, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания параллелограмма.

1. Найдем меньшую диагональ основания ( d_1 ): В параллелограмме диагонали делятся на две части и пересекаются под углом, который можно найти через косинус закон: [ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)} ] Подставим значения: [ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ] [ d_1 = \sqrt{8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{64 + 225 + 120} = \sqrt{409} \, \text{см} ]

2. Площадь сечения: Сечение через боковое ребро и диагональ ( d_1 ) представляет собой прямоугольник с одной стороной равной высоте призмы ( h ) и другой стороной равной ( d1 ): [ S{\text{сеч}} = h \cdot d_1 = 10 \cdot \sqrt{409} \, \text{кв.см} ]

Таким образом, площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания, равна ( 10\sqrt{409} ) квадратных сантиметров.

Рисунок

          D---------C
         /|        /|
        / |       / |
       /  |      /  |
      /   |     /   |
     /    |    /    |
    A---------B     |
    |    d_1  |     |
    |    |    |     |
    |    |    |     |
    |    |    |     |
    |    |    |     |
    |    |    |     |
    |_________|     |
    |    |   /E     |
    |____|__/       |
    |    | /        |
    |    |/         |
    |   /F---------G
    A                B

На рисунке:

• ( A, B, C, D ) — вершины параллелограмма основания.
• ( A', B', C', D' ) — вершины верхнего основания.
• Линия ( A \rightarrow C ) — меньшая диагональ основания ( d_1 ).
• Линия ( A \rightarrow A' ) — боковое ребро призмы.
• Плоскость сечения — прямоугольник ( AA'C'C ).

Для нахождения площади сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания, нужно следовать следующим шагам:

1. Найдем высоту призмы. Для этого воспользуемся формулой для нахождения площади боковой поверхности призмы: Sб = p * h, где Sб - площадь боковой поверхности призмы, p - периметр основания, h - высота призмы.

По условию задачи Sб = 460 кв. см. Периметр основания прямоугольной призмы равен 2(a + b), где a и b - стороны параллелограмма основания. В данном случае a = 8 см, b = 15 см, поэтому p = 2(8+15) = 46 см. Теперь найдем высоту призмы: 460 = 46 * h => h = 10 см.

1. Теперь найдем диагональ параллелограмма основания. Диагональ параллелограмма можно найти по формуле: d = √(a^2 + b^2 + 2ab cos(α)), где d - диагональ, a и b - стороны параллелограмма основания, α - угол между сторонами. В данном случае a = 8 см, b = 15 см, α = 120 градусов. Подставляем значения и находим диагональ: d = √(8^2 + 15^2 + 2815cos(120)) = √(64 + 225 + 240) = √529 = 23 см.

2. Наконец, находим площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. Площадь сечения прямоугольной призмы можно найти по формуле: Sсечения = d h, где d - диагональ, h - высота призмы. Подставляем значения: Sсечения = 23 см 10 см = 230 кв. см.

Таким образом, площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания, равна 230 кв. см.