Основание прямой призмы - параллелограмм со сторонами 8 и 15 см и углом 120 градусов. Боковая поверхность...

Для решения задачи начнем с анализа данных и характеристик прямой призмы и ее основания.

Анализ основания призмы

Основание призмы — параллелограмм со сторонами $a=8$ см и $b=15$ см, и углом $\alpha ={120}^{\circ }$.

1. Найдем площадь основания параллелограмма $S_{\text{осн}}$: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: [ S{\text{осн}} = a \cdot b \cdot \sin \alpha ] Подставим значения: [ S{\text{осн}} = 8 \cdot 15 \cdot \sin 120^\circ = 8 \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \, \text{кв.см} ]

2. Найдем высоту призмы $h$: Площадь боковой поверхности призмы равна $460\text{кв. см}$. Поскольку боковая поверхность прямой призмы представляет собой сумму площадей боковых прямоугольников, можно выразить площадь боковой поверхности через периметр основания и высоту: $S_{\text{бок}}=P\cdot h$ где $P$ — периметр основания. Периметр параллелограмма равен: $P=2a+2b=2\cdot 8+2\cdot 15=46\text{см}$ Теперь найдем высоту $h$: $460=46h⟹h=\frac{460}{46}=10\text{см}$

Сечение призмы

Нам нужно найти площадь сечения, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания параллелограмма.

1. Найдем меньшую диагональ основания $d_1$: В параллелограмме диагонали делятся на две части и пересекаются под углом, который можно найти через косинус закон: $d_1=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos ({120}^{\circ })}$ Подставим значения: $\cos ({120}^{\circ })=-\frac{1}{2}$ $d_1=\sqrt{8^2+{15}^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot (-\frac{1}{2})}=\sqrt{64+225+120}=\sqrt{409}\text{см}$

2. Площадь сечения: Сечение через боковое ребро и диагональ $d_1$ представляет собой прямоугольник с одной стороной равной высоте призмы $h$ и другой стороной равной ( d1 ): [ S{\text{сеч}} = h \cdot d_1 = 10 \cdot \sqrt{409} \, \text{кв.см} ]

Таким образом, площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания, равна $10\sqrt{409}$ квадратных сантиметров.

Рисунок

          D---------C
         /|        /|
        / |       / |
       /  |      /  |
      /   |     /   |
     /    |    /    |
    A---------B     |
    |    d_1  |     |
    |    |    |     |
    |    |    |     |
    |    |    |     |
    |    |    |     |
    |    |    |     |
    |_________|     |
    |    |   /E     |
    |____|__/       |
    |    | /        |
    |    |/         |
    |   /F---------G
    A                B

На рисунке:

• $A,B,C,D$ — вершины параллелограмма основания.
• $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ — вершины верхнего основания.
• Линия $A\to C$ — меньшая диагональ основания $d_1$.
• Линия $A\to A^{\prime }$ — боковое ребро призмы.
• Плоскость сечения — прямоугольник $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$.

Для нахождения площади сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания, нужно следовать следующим шагам:

1. Найдем высоту призмы. Для этого воспользуемся формулой для нахождения площади боковой поверхности призмы: Sб = p * h, где Sб - площадь боковой поверхности призмы, p - периметр основания, h - высота призмы.

По условию задачи Sб = 460 кв. см. Периметр основания прямоугольной призмы равен 2$a+b$, где a и b - стороны параллелограмма основания. В данном случае a = 8 см, b = 15 см, поэтому p = 2$8+15$ = 46 см. Теперь найдем высоту призмы: 460 = 46 * h => h = 10 см.

1. Теперь найдем диагональ параллелограмма основания. Диагональ параллелограмма можно найти по формуле: d = √(a^2 + b^2 + 2ab cos$\alpha$), где d - диагональ, a и b - стороны параллелограмма основания, α - угол между сторонами. В данном случае a = 8 см, b = 15 см, α = 120 градусов. Подставляем значения и находим диагональ: d = √(8^2 + 15^2 + 2815cos$120$) = √$64+225+240$ = √529 = 23 см.

2. Наконец, находим площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. Площадь сечения прямоугольной призмы можно найти по формуле: Sсечения = d h, где d - диагональ, h - высота призмы. Подставляем значения: Sсечения = 23 см 10 см = 230 кв. см.

Таким образом, площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания, равна 230 кв. см.