Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием, равным 12 см, и боковой стороной, равно 10 см. Вычислить высоту пирамиды, если все ее боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы, равные 30 градусов.
С чертежом.
Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием, равным 12 см, и боковой стороной, равно 10 см. Вычислить высоту пирамиды, если все ее боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы, равные 30 градусов.
С чертежом.
Для нахождения высоты пирамиды воспользуемся теоремой косинусов для треугольника. Обозначим высоту пирамиды как h.
По условию, боковая сторона пирамиды равна 10 см, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30 градусов. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник с катетами 10 см и h и гипотенузой 12 см.
Применим теорему косинусов: cos(30 градусов) = adjacent / hypotenuse cos(30 градусов) = h / 12 h = 12 cos(30 градусов) h = 12 √3 / 2 h = 6√3
Итак, высота пирамиды равна 6√3 см.
Чтобы визуализировать это, нарисуем равнобедренный треjsonльник с основанием 12 см, боковой стороной 10 см и высотой 6√3 см, которая проходит через вершину пирамиды и перпендикулярна основанию.
Для решения данной задачи, нам нужно найти высоту пирамиды. Из условия известно, что боковая сторона равна 10 см, а угол между боковой стороной и плоскостью основания равен 30 градусов. Так как пирамида равнобедренная, то высота, опущенная из вершины пирамиды на основание, будет равна медиане равнобедренного треугольника. Поэтому, высота пирамиды равна 6√3 см.
(Чертеж не предоставлен)
Для решения задачи будем использовать свойства пирамиды и тригонометрию. Давайте разберем шаг за шагом.
Параметры основания:
Основание пирамиды - равнобедренный треугольник (ABC) с основанием (AB = 12) см и боковыми сторонами (AC = BC = 10) см. Найдем высоту (h_1) этого треугольника, опущенную из вершины (C) на основание (AB).
Так как треугольник равнобедренный, высота (h_1) также является медианой, разделяя основание (AB) на два равных отрезка по 6 см. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника (ACD) (где (D) - точка основания высоты на (AB)):
[ h_1 = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}. ]
Параметры пирамиды:
Пусть вершина пирамиды - точка (S). Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания двугранные углы в 30 градусов. Это значит, что каждая боковая грань, например (\triangle SAC), наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов.
Высота пирамиды:
Обозначим высоту пирамиды как (h), которая опущена из вершины (S) на плоскость основания (ABC) (в точку (O), центр основания). Учитывая, что двугранный угол между боковой гранью и основанием составляет 30 градусов, вертикальный угол между высотой боковой грани (например, (SC)) и высотой пирамиды (h) также составляет 30 градусов.
Используя тригонометрию в треугольнике (SOC), где (SO = h), (OC = \frac{AB}{2} = 6) см, и угол между (SC) и (SO) равен 30 градусов, находим (SC) (высота боковой грани):
[ \tan(30^\circ) = \frac{OC}{h}. ]
[ \sqrt{3} / 3 = \frac{6}{h}. ]
[ h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}. ]
Таким образом, высота пирамиды (SO) равна (2\sqrt{3}) см.
К сожалению, я не могу предоставить чертеж, но вы можете нарисовать его, следуя описанию. Сначала нарисуйте равнобедренный треугольник (ABC) с основанием 12 см и боковыми сторонами 10 см, затем отметьте высоту (h_1) из вершины (C) на (AB). Вершину (S) поставьте над центром основания, чтобы высота (h) была равна (2\sqrt{3}) см.
