Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.
Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.
Периметр равнобокой трапеции равен 20 см.
Рассмотрим равнобокую трапецию ( ABCD ) с основаниями ( AB = 7 ) см и ( CD = 3 ) см, где ( AB ) - большее основание, а ( CD ) - меньшее основание. Пусть ( AD = BC ) - боковые стороны трапеции. Диагональ ( AC ) делит тупой угол ( BAD ) пополам.
Для начала, определим, что означает деление тупого угла пополам. Так как угол ( BAD ) делится диагональю ( AC ) пополам, то угол ( BAC ) равен углу ( CAD ).
Обозначим угол ( CAD ) как ( \alpha ). Тогда угол ( BAD = 2\alpha ).
Диагональ ( AC ) делит трапецию на два треугольника: ( \triangle ACD ) и ( \triangle ABC ).
Рассмотрим треугольник ( \triangle ACD ):
Теперь рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ):
Для нахождения боковых сторон воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ( \triangle ACD ): [ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\alpha) ] и в треугольнике ( \triangle ABC ): [ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\alpha) ]
Поскольку ( AD = BC ), обозначим эту длину как ( x ).
Теперь выразим ( AC ) через ( x ) и ( \alpha ): [ AC^2 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \cdot \cos(\alpha) ] и [ AC^2 = 7^2 + x^2 - 2 \cdot 7 \cdot x \cdot \cos(\alpha) ]
Так как ( AC ) - общая диагональ, приравняем полученные выражения: [ x^2 + 9 - 6x \cos(\alpha) = 49 + x^2 - 14x \cos(\alpha) ]
Упростим: [ 9 - 6x \cos(\alpha) = 49 - 14x \cos(\alpha) ] [ 8x \cos(\alpha) = 40 ] [ x \cos(\alpha) = 5 ]
Теперь найдем ( x ): [ \cos(\alpha) = \frac{5}{x} ]
Так как ( \cos(\alpha) ) не может быть больше 1, это накладывает ограничение на ( x ): [ x \geq 5 ]
В реальности, при равнобокой трапеции ( x ) будет больше, чем значение, удовлетворяющее минимальному ( \cos(\alpha) ). Подставим ( x = 5 ): [ x = 5 ] [ \cos(\alpha) = 1 ]
Это означает, что угол ( \alpha = 0^\circ ), что невозможно, так как угол ( BAC ) и ( CAD ) не могут быть равны нулю. Значит, ( x ) должно быть больше 5.
Рассмотрим значение, удовлетворяющее ( \cos(\alpha) < 1 ): Пусть ( x = \sqrt{34} ).
Теперь подставим значение ( x ): [ AC^2 = x^2 + 9 - 6x \cos(\alpha) ] [ AC^2 = 34 + 9 - 6\sqrt{34} \cos(\alpha) ] [ AC^2 = 43 - 6\sqrt{34} \cos(\alpha) ]
и [ AC^2 = 49 + x^2 - 14x \cos(\alpha) ] [ AC^2 = 49 + 34 - 14\sqrt{34} \cos(\alpha) ] [ AC^2 = 83 - 14\sqrt{34} \cos(\alpha) ]
Так как ( AC ) одинаково: [ 43 - 6 \sqrt{34} \cos(\alpha) = 83 - 14 \sqrt{34} \cos(\alpha) ]
Упрощаем: [ -40 = -8 \sqrt{34} \cos(\alpha) ] [ 5 = \sqrt{34} \cos(\alpha) ]
Так ( x = 5 ), Обозначим ( AD = BC = \sqrt{34} ).
Теперь найдём периметр: [ P = AB + CD + 2 \cdot AD = 7 + 3 + 2 \times \sqrt{34} = 10 + 2 \sqrt{34} ]
Таким образом, периметр трапеции равен ( 10 + 2 \sqrt{34} ) см.
Для нахождения периметра равнобокой трапеции с основаниями 3 см и 7 см, а также с условием, что диагональ делит тупой угол трапеции пополам, нужно воспользоваться свойствами равнобокой трапеции.
Поскольку диагональ делит тупой угол трапеции пополам, то углы при основаниях равны между собой. Пусть каждый из этих углов равен α. Тогда сумма всех четырех углов трапеции равна 360 градусов, откуда получаем уравнение: 2α + 2(180 - α) = 360 2α + 360 - 2α = 360 360 = 360
Это уравнение выполняется, что подтверждает правильность предположения о равенстве углов при основаниях.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный диагональю и одним из оснований. Поскольку трапеция равнобокая, то этот треугольник равнобедренный, а значит угол между диагональю и основанием равен α/2.
Используя теорему косинусов для этого треугольника, мы можем выразить длину диагонали через основание и угол между диагональю и основанием: d^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(α/2) d^2 = 3^2 + 7^2 - 237*cos(α/2) d^2 = 9 + 49 - 42cos(α/2) d^2 = 58 - 42cos(α/2)
Теперь найдем периметр трапеции. Поскольку трапеция равнобокая, то боковые стороны равны основаниям. Поэтому периметр равен: P = 2a + d + b + c = 23 + d + 7 + d = 6 + 2d + 7 P = 13 + 2d
Исходя из уравнения выше, мы знаем, что d^2 = 58 - 42cos(α/2), следовательно, d = √(58 - 42cos(α/2)).
Подставляя это значение в формулу для периметра, получаем: P = 13 + 2*√(58 - 42cos(α/2))
Таким образом, периметр равнобокой трапеции с основаниями 3 см и 7 см, при условии, что диагональ делит тупой угол трапеции пополам, равен 13 + 2*√(58 - 42cos(α/2)) см.
