Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого 18 см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

Для решения этой задачи начнем с анализа информации, данной в вопросе. Осевое сечение цилиндра – это сечение, которое проходит через ось цилиндра, и в данном случае оно представляет собой квадрат. Это значит, что высота цилиндра (h) и диаметр его основания (d) равны друг другу, так как все стороны квадрата равны.

1. Найдем сторону квадрата. Поскольку диагональ квадрата равна 18 см и квадрат можно разделить на два равных прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты, равные сторонам квадрата (a), и гипотенузу, равную диагонали (18 см). Используя теорему Пифагора: [ a^2 + a^2 = 18^2 ] [ 2a^2 = 324 ] [ a^2 = 162 ] [ a = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \text{ см} ]

2. Так как осевое сечение цилиндра – квадрат, его высота (h) и диаметр основания (d) равны 9√2 см. Радиус основания (r) цилиндра будет равен половине диаметра: [ r = \frac{d}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \text{ см} ]

3. Площадь поверхности цилиндра состоит из площадей двух его оснований и площади боковой поверхности. Площадь одного основания цилиндра (круга) вычисляется по формуле: [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{81 \cdot 2}{4} = \frac{162\pi}{4} = 40.5\pi \text{ см}^2 ]

   Площадь двух оснований: [ S_{\text{оснований}} = 2 \cdot 40.5\pi = 81\pi \text{ см}^2 ]

4. Площадь боковой поверхности цилиндра (прямоугольник, который образуется при разворачивании боковой поверхности) равна произведению периметра основания на высоту: [ S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot h = 2\pi \cdot \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot 9\sqrt{2} = 2\pi \cdot \frac{81 \cdot 2}{2} = 81\pi \text{ см}^2 ]

5. Общая площадь поверхности цилиндра: [ S{\text{пов}} = S{\text{оснований}} + S_{\text{бок}} = 81\pi + 81\pi = 162\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности цилиндра равна 162π см².

Для того чтобы найти площадь поверхности цилиндра, нам необходимо знать его высоту. Однако, у нас есть информация об осевом сечении цилиндра, которое является квадратом с диагональю 18 см.

Поскольку диагональ квадрата равна √2 раза его стороны, то длина стороны квадрата (или радиус цилиндра) будет равна 18 / √2 = 9√2 см.

Таким образом, площадь поверхности цилиндра можно найти по формуле S = 2πr(r + h), где r - радиус цилиндра, h - его высота.

Подставляем известные значения: r = 9√2 см. Из условия задачи неизвестна высота h.

S = 2π 9√2 (9√2 + h)

S = 18π 9√2 + 2π 81 * h

S = 162π + 162πh

Таким образом, площадь поверхности цилиндра равна 162π + 162πh квадратных сантиметров.