Определите значение н при котором вектор а {12, 3,-7} можно разложить по векторам б {3,н, -2} и с {-2,3,1}...

Для того чтобы разложить вектор ( \mathbf{a} = {12, 3, -7} ) по векторам ( \mathbf{b} = {3, n, -2} ) и ( \mathbf{c} = {-2, 3, 1} ), нам нужно найти такие коэффициенты (\alpha) и (\beta), чтобы выполнялось следующее уравнение:

[ \mathbf{a} = \alpha \mathbf{b} + \beta \mathbf{c} ]

Запишем это уравнение в координатной форме:

[ {12, 3, -7} = \alpha {3, n, -2} + \beta {-2, 3, 1} ]

Это приводит нас к системе трех линейных уравнений:

1. ( 12 = 3\alpha - 2\beta )
2. ( 3 = n\alpha + 3\beta )
3. ( -7 = -2\alpha + \beta )

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Из уравнения (3) выразим (\beta):

[ -7 = -2\alpha + \beta ] [ \beta = -7 + 2\alpha ]

Теперь подставим это выражение для (\beta) в уравнения (1) и (2).

Подставим (\beta) в уравнение (1):

[ 12 = 3\alpha - 2(-7 + 2\alpha) ] [ 12 = 3\alpha + 14 - 4\alpha ] [ 12 = -\alpha + 14 ] [ -\alpha = 12 - 14 ] [ -\alpha = -2 ] [ \alpha = 2 ]

Теперь подставим (\alpha = 2) в выражение для (\beta):

[ \beta = -7 + 2 \cdot 2 ] [ \beta = -7 + 4 ] [ \beta = -3 ]

Теперь у нас есть значения (\alpha = 2) и (\beta = -3). Подставим эти значения в уравнение (2):

[ 3 = n \cdot 2 + 3 \cdot (-3) ] [ 3 = 2n - 9 ] [ 3 + 9 = 2n ] [ 12 = 2n ] [ n = 6 ]

Таким образом, значение ( n ) равно 6. Теперь мы можем проверить, что найденные значения (\alpha = 2) и (\beta = -3) действительно удовлетворяют исходной системе уравнений.

Проверим уравнения:

1. ( 12 = 3 \cdot 2 - 2 \cdot (-3) ) [ 12 = 6 + 6 ] [ 12 = 12 ] (выполняется)

2. ( 3 = 6 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) ) [ 3 = 12 - 9 ] [ 3 = 3 ] (выполняется)

3. ( -7 = -2 \cdot 2 + (-3) ) [ -7 = -4 - 3 ] [ -7 = -7 ] (выполняется)

Следовательно, значение ( n = 6 ), и разложение вектора ( \mathbf{a} ) по векторам ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ) имеет вид:

[ \mathbf{a} = 2 \mathbf{b} - 3 \mathbf{c} ]

Для того чтобы разложить вектор а {12, 3, -7} по векторам б {3, н, -2} и с {-2, 3, 1}, необходимо найти коэффициенты λ и μ, такие что вектор а можно представить в виде линейной комбинации векторов б и с:

a = λb + μc

Так как вектор а {12, 3, -7}, вектор б {3, н, -2} и вектор с {-2, 3, 1}, подставляем значения в формулу:

{12, 3, -7} = λ{3, н, -2} + μ{-2, 3, 1}

Это приводит к следующей системе уравнений:

12 = 3λ - 2μ 3 = нλ + 3μ -7 = -2λ + μ

Решив данную систему уравнений, можно найти значения λ и μ, а затем подставить их обратно в формулу для найти разложение вектора а по векторам б и с.

Для того чтобы вектор а {12, 3, -7} можно было разложить по векторам б {3, н, -2} и с {-2, 3, 1}, значение н должно быть равно 1.