Определите радиус окружности, заданной уравнением х^2-2x+y^2+4y-4=0

Радиус окружности равен 1.

Чтобы определить радиус окружности, заданной уравнением ( x^2 - 2x + y^2 + 4y - 4 = 0 ), необходимо преобразовать это уравнение к стандартному виду уравнения окружности. Стандартное уравнение окружности имеет вид:

[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ]

где ((a, b)) — координаты центра окружности, а (r) — радиус.

Для этого нужно выполнить завершение квадрата по обеим переменным, (x) и (y).

1. Рассмотрим часть уравнения, содержащую (x): (x^2 - 2x).

   Чтобы завершить квадрат, прибавим и вычтем (\left(\frac{-2}{2}\right)^2 = 1):

   [ x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1 ]

2. Теперь рассмотрим часть уравнения, содержащую (y): (y^2 + 4y).

   Чтобы завершить квадрат, прибавим и вычтем (\left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4):

   [ y^2 + 4y = (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4 ]

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 - 4 = 0 ]

Упростим уравнение:

[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 9 = 0 ]

Переносим (-9) на правую сторону:

[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 ]

Теперь уравнение находится в стандартной форме окружности. Из этого уравнения видно, что:

• Центр окружности: ((1, -2))
• Радиус окружности: (\sqrt{9} = 3)

Таким образом, радиус окружности равен 3.

Для нахождения радиуса окружности, заданной уравнением х^2-2x+y^2+4y-4=0, необходимо привести уравнение к каноническому виду общего уравнения окружности.

x^2 - 2x + y^2 + 4y - 4 = 0

x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 - 1 - 4 = 0 (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 1 - 4 = 0 (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5

Сравнивая полученное уравнение с общим уравнением окружности (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус, можно сделать вывод, что центр окружности находится в точке (1, -2), а радиус равен √5.

Таким образом, радиус окружности, заданной уравнением х^2-2x+y^2+4y-4=0, равен √5.