Окружность с центром O радиуса 12 см описана около треугольника MNK так, что угол MON =120 градусов, угол NOK= 90 градусов. Найдите длины сторон MN и NK треугольника.
Окружность с центром O радиуса 12 см описана около треугольника MNK так, что угол MON =120 градусов, угол NOK= 90 градусов. Найдите длины сторон MN и NK треугольника.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства окружности и треугольника.
Поскольку треугольник MNK описан около окружности с центром O и радиусом 12 см, то стороны треугольника MNK будут касаться окружности. Таким образом, мы имеем дело с касательными и хордами окружности.
Угол MON = 120 градусов, что означает, что дуга MN равна 240 градусам (по свойству центрального угла). Аналогично, дуга NK равна 180 градусам (угол NOK = 90 градусов).
Так как дуга MN равна 240 градусам, угол в центре дуги (угол MON) равен половине этой величины, то есть 120 градусам. Аналогично, угол в центре дуги NK равен 90 градусам.
Теперь мы можем применить теорему о касательных и хордах: угол, образованный хордой и касательной, равен половине угла в центре дуги, либо 1/2 угла в центре дуги.
Из угла MON = 120 градусов следует, что угол MKN = 60 градусов (1/2 от 120). Таким образом, треугольник MKN является равносторонним, а стороны MN и NK равны друг другу.
Итак, длины сторон MN и NK треугольника равны 12 см.
Для решения задачи начнем с анализа данных и применения теоремы о вписанном угле.
Теорема о вписанном угле: Угол, образованный двумя хордами в окружности (MN и NK), измеряется половиной дуги, на которую опирается этот угол. Так как угол MON = 120 градусов и угол NOK = 90 градусов, то дуги, соответствующие этим углам, будут в два раза больше: 240 градусов для дуги MN и 180 градусов для дуги NK.
Расчет угла MKN: Угол MKN можно найти, зная углы MON и NOK. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, угол MKN будет равен: [ \angle MKN = 360^\circ - \angle MON - \angle NOK = 360^\circ - 120^\circ - 90^\circ = 150^\circ. ]
Найдем стороны MN и NK:
Используем теорему косинусов для нахождения длин сторон. Теорема косинусов гласит: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ] где ( c ) – искомая сторона, ( a ) и ( b ) – две другие стороны треугольника, ( \gamma ) – угол, противолежащий стороне ( c ).
Так как MNK – треугольник, вписанный в окружность с радиусом 12 см, стороны MN и NK можно найти как хорды, опирающиеся на углы 240° и 180° соответственно. Длина хорды ( c ), опирающейся на угол ( \theta ), в окружности радиусом ( R ) вычисляется по формуле: [ c = 2R \sin(\theta/2) ]
Для MN ((\theta = 240^\circ)): [ MN = 2 \times 12 \times \sin(120^\circ / 2) = 24 \times \sin(60^\circ) = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \, \text{см} ]
Для NK ((\theta = 180^\circ)): [ NK = 2 \times 12 \times \sin(90^\circ) = 24 \times 1 = 24 \, \text{см} ]
Таким образом, длины сторон MN и NK треугольника равны (12\sqrt{3}) см и 24 см соответственно.
Длины сторон MN и NK треугольника равны 12 см.
