Окружность касается сторон прямоугольной трапеции с острым углом 40 градусов. Найдите градусные меры...

Рассмотрим прямоугольную трапецию (ABCD), где (AB \parallel CD) и (AD \perp AB). Пусть окружность касается сторон этой трапеции в точках (P), (Q), (R) и (S), где (P), (Q), (R), и (S) — точки касания окружности со сторонами (AB), (BC), (CD) и (DA) соответственно.

Поскольку окружность касается всех четырех сторон, трапеция является вписанной в окружность, а следовательно, сумма длин противоположных сторон равна. То есть (AB + CD = AD + BC).

Далее, учитывая, что угол (DAB = 40^\circ), и что (AD) и (DC) перпендикулярны (так как (AD) — высота), угол (BCD) также будет равен (40^\circ), поскольку сумма углов в трапеции, прилегающих к одной из параллельных сторон, равна (180^\circ).

Теперь рассмотрим дуги, на которые точки касания делят окружность. В окружности, вписанной в четырехугольник, дуги между точками касания, противоположными через центр окружности, равны.

Так как трапеция симметрична относительно высоты и окружность касается её сторон, дуги, на которые делят окружность точки касания, будут равны. Пусть длина дуг между точками касания (P) и (Q) равна (\alpha), между точками (Q) и (R) равна (\beta), между (R) и (S) равна (\gamma), и между (S) и (P) равна (\delta).

Из условия касания окружности со сторонами трапеции и симметричности: [ \alpha = \gamma, \quad \beta = \delta. ]

Сумма всех дуг окружности равна (360^\circ): [ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ. ]

Так как (\alpha = \gamma) и (\beta = \delta), мы можем переписать уравнение как: [ 2\alpha + 2\beta = 360^\circ. ]

Отсюда: [ \alpha + \beta = 180^\circ. ]

Таким образом, дуги окружности, на которые делят её точки касания, равны (180^\circ) каждая, что соответствует половине окружности. Поскольку угол между касательными, проведенными в точках касания окружности, равен (40^\circ), каждая из дуг, на которые делят окружность точки касания, также составляет (90^\circ).

Пусть точка касания окружности с каждой из сторон трапеции обозначается как A, B, C и D (по часовой стрелке). Поскольку окружность касается сторон трапеции, то радиус окружности перпендикулярен касательной, а значит, в каждой точке касания образуется прямой угол между радиусом и касательной.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник в каждой точке касания. Поскольку один из углов трапеции равен 40 градусам, то угол между радиусом и стороной трапеции в точке касания также равен 40 градусам.

Таким образом, градусные меры дуг, на которые делит окружность точка касания, будут равны 40 градусам.