около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность площадь большего круга равна 64П см2 найдите площадь теугольника
около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность площадь большего круга равна 64П см2 найдите площадь теугольника
Давайте подробно разберём задачу.
Площадь окружности выражается через радиус по формуле: [ S_{\text{окружности}} = \pi R^2, ] где ( R ) — радиус окружности.
У нас площадь окружности равна ( 64\pi ), значит: [ \pi R^2 = 64\pi. ]
Сокращаем на ( \pi ): [ R^2 = 64. ]
Извлекаем корень: [ R = 8 \, \text{см}. ]
Таким образом, радиус описанной окружности равен ( R = 8 \, \text{см} ).
Для правильного треугольника сторона ( a ) и радиус описанной окружности ( R ) связаны формулой: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}}. ]
Подставляем ( R = 8 ): [ 8 = \frac{a}{\sqrt{3}}. ]
Умножаем обе части на ( \sqrt{3} ): [ a = 8\sqrt{3} \, \text{см}. ]
Таким образом, сторона правильного треугольника равна ( a = 8\sqrt{3} \, \text{см} ).
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2, ] где ( a ) — сторона треугольника.
Подставляем ( a = 8\sqrt{3} ): [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (8\sqrt{3})^2. ]
Сначала возведём ( 8\sqrt{3} ) в квадрат: [ (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192. ]
Теперь подставляем это в формулу площади: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 192. ]
Упрощаем: [ S = \frac{192\sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}. ]
Площадь правильного треугольника равна: [ \boxed{48\sqrt{3} \, \text{см}^2}. ]
Площадь правильного треугольника, описанного около окружности, можно найти через радиус описанной окружности ( R ). Площадь треугольника ( S ) связана с радиусом описанной окружности формулой:
[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ]
где ( a ) — сторона треугольника. Радиус описанной окружности ( R ) правильного треугольника равен:
[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]
Также известно, что площадь окружности равна:
[ S_{circ} = \pi R^2 ]
Если площадь большего круга равна ( 64\pi ), то:
[ R^2 = 64 \implies R = 8 ]
Теперь подставляем ( R = 8 ) в формулу для стороны треугольника:
[ \frac{a}{\sqrt{3}} = 8 \implies a = 8\sqrt{3} ]
Теперь можем найти площадь треугольника:
[ S = \frac{(8\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{192 \sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]
Таким образом, площадь правильного треугольника равна ( 48\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).
Для решения задачи начнем с анализа правильного треугольника и его окружностей.
Пусть ( R ) — радиус описанной окружности (окружности, которая проходит через все вершины треугольника), а ( r ) — радиус вписанной окружности (окружности, которая касается всех сторон треугольника).
Согласно условию, площадь большего круга (описанной окружности) равна ( 64\pi ) см². Площадь круга вычисляется по формуле:
[ S = \pi R^2 ]
Отсюда можем выразить радиус ( R ):
[ \pi R^2 = 64\pi ]
Делим обе стороны на ( \pi ) и получаем:
[ R^2 = 64 ]
Следовательно, радиус ( R ) равен:
[ R = 8 \text{ см} ]
Теперь перейдем к вычислению площади правильного треугольника. Площадь ( S ) правильного треугольника можно выразить через радиус описанной окружности:
[ S = \frac{abc}{4R} ]
Для равностороннего треугольника, где все стороны равны ( a ), площадь также может быть выражена через сторону и радиус вписанной окружности:
[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ]
Для равностороннего треугольника существует связь между радиусами описанной и вписанной окружностей:
[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]
Теперь мы можем найти сторону ( a ) через радиус ( R ):
[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = R \sqrt{3} = 8 \sqrt{3} ]
Теперь подставим значение ( a ) в формулу для площади треугольника:
[ S = \frac{(8\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3} ]
Таким образом, площадь правильного треугольника равна:
[ S = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 ]
Ответ: площадь правильного треугольника составляет ( 48\sqrt{3} ) см².
