Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов,а разность гипотенузы и меньшего катета...

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен (60^\circ). Пусть гипотенуза обозначается за (c), а меньший катет — за (a). Прямоугольный треугольник с углом (60^\circ) и (30^\circ) является треугольником с известными соотношениями сторон.

Свойства треугольника (30^\circ - 60^\circ - 90^\circ):

В прямоугольном треугольнике с углами (30^\circ), (60^\circ) и (90^\circ):

1. Гипотенуза ((c)) в два раза больше меньшего катета ((a)):
   [ c = 2a ]
2. Больший катет ((b)) равен меньшему катету, умноженному на (\sqrt{3}):
   [ b = a\sqrt{3} ]

Условие задачи:

Дано, что разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: [ c - a = 15 ]

Решение:

1. Используем соотношение гипотенузы и меньшего катета для треугольника (30^\circ - 60^\circ - 90^\circ):
   [ c = 2a ] Подставляем это в условие (c - a = 15): [ 2a - a = 15 ] [ a = 15 ]

2. Найдём гипотенузу ((c)): [ c = 2a = 2 \cdot 15 = 30 ]

Ответ:

Гипотенуза равна (30) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60 градусов. Обозначим:

• ( c ) — гипотенуза,
• ( a ) — меньший катет,
• ( b ) — больший катет.

В прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов, меньший катет ( a ) противолежит углу 60 градусов, а больший катет ( b ) противолежит углу 30 градусов. По свойствам треугольника, можно выразить катеты через гипотенузу:

1. Меньший катет ( a ) равен: [ a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

2. Больший катет ( b ) равен: [ b = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} ]

Также по условию задачи, разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: [ c - a = 15 ]

Теперь подставим выражение для ( a ): [ c - \left(c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 15 ]

Упростим это уравнение: [ c \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 15 ]

Введем новую переменную: [ 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} ]

Таким образом, уравнение принимает вид: [ c \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = 15 ]

Умножим обе стороны на 2: [ c(2 - \sqrt{3}) = 30 ]

Теперь выразим гипотенузу ( c ): [ c = \frac{30}{2 - \sqrt{3}} ]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: [ c = \frac{30(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{30(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 30(2 + \sqrt{3}) ]

Теперь вычислим значение: [ c = 30 \cdot 2 + 30 \cdot \sqrt{3} = 60 + 30\sqrt{3} ]

Приблизительное значение ( \sqrt{3} ) равно 1.732, поэтому: [ c \approx 60 + 30 \cdot 1.732 \approx 60 + 51.96 \approx 111.96 \text{ см} ]

Таким образом, гипотенуза ( c ) равна: [ c \approx 111.96 \text{ см} ]

Окончательный ответ: гипотенуза составляет примерно 111.96 см.