Один из угллв прямоугольного треугольника равен 60 ,а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15 см....

Меньший катет равен 5 см, гипотенуза равна 10 см.

Для решения данной задачи, обозначим меньший катет за (a), а гипотенузу за (c). Также обозначим другой катет за (b).

Из условия задачи имеем:

[\begin{cases} \sin(60^\circ) = \frac{a}{c} \ a + c = 15 \end{cases}]

Сначала найдем значения для (a) и (c) с использованием тригонометрических функций. Так как угол против меньшего катета равен 60 градусов, то (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}). Подставляем это в первое уравнение:

[\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}]

Отсюда получаем, что (a = \frac{c\sqrt{3}}{2}).

Подставляем это значение (a) во второе уравнение:

[\frac{c\sqrt{3}}{2} + c = 15]

Упрощаем уравнение:

[\frac{3c + 2c}{2} = 15]

[5c = 30]

[c = 6]

Таким образом, гипотенуза равна 6 см. Теперь найдем значение меньшего катета (a):

[a = \frac{6\sqrt{3}}{2}]

[a = 3\sqrt{3}]

Таким образом, меньший катет равен (3\sqrt{3}) см.

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 60°, можно воспользоваться свойствами треугольника 30°-60°-90°. В таком треугольнике стороны имеют определённое соотношение: катет, противолежащий углу 30°, в два раза меньше гипотенузы, а катет, противолежащий углу 60°, равен (\sqrt{3}) раз катету, противолежащему углу 30°.

Обозначим катет, противолежащий углу 30°, как ( x ). Тогда гипотенуза будет ( 2x ), а катет, противолежащий углу 60°, будет ( x\sqrt{3} ).

По условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Меньший катет в данном случае — это катет противолежащий углу 30°, то есть ( x ). Следовательно, уравнение будет выглядеть так: [ 2x + x = 15 ] [ 3x = 15 ] [ x = 5 ]

Теперь, когда мы знаем ( x ), можем найти гипотенузу и катеты:

• Гипотенуза ( 2x = 2 \times 5 = 10 ) см
• Меньший катет ( x = 5 ) см
• Больший катет ( x\sqrt{3} = 5\sqrt{3} ) см

Таким образом, гипотенуза равна 10 см, а меньший катет равен 5 см.