Образующая конуса равна 8 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°найдите полную поверхность...

Полная поверхность конуса равна S = πr(l + r), где r - радиус основания, l - образующая конуса. В данном случае r = 4 см (половина образующей), l = 8 см и угол наклона 30°. l = √(r^2 + h^2), где h - высота конуса h = r tg(30°) = 4 tg(30°) ≈ 2.31 см l = √(4^2 + 2.31^2) ≈ 4.69 см S = π 4 (4.69 + 4) ≈ 90.67 см^2

Ответ: полная поверхность конуса равна примерно 90.67 см^2.

Для решения задачи нам нужно найти полную поверхность конуса, которая состоит из площади его основания и площади боковой поверхности.

1. Найдем радиус основания конуса.

Образующая ( l ) конуса равна 8 см и наклонена к плоскости основания под углом ( 30^\circ ). Воспользуемся тригонометрией, чтобы найти радиус основания ( r ). В данном случае:

[ \cos(30^\circ) = \frac{r}{l} ]

Подставим известные значения:

[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad l = 8 \text{ см} ]

[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{8} ]

Отсюда:

[ r = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]

1. Найдем высоту конуса.

Используя синус угла:

[ \sin(30^\circ) = \frac{h}{l} ]

Подставим значения:

[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \quad l = 8 \text{ см} ]

[ \frac{1}{2} = \frac{h}{8} ]

Отсюда:

[ h = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см} ]

1. Найдем площадь основания.

Площадь основания ( S_{\text{осн}} ) — это площадь круга радиуса ( r ):

[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 ]

Подставим найденное ( r = 4\sqrt{3} ):

[ S_{\text{осн}} = \pi (4\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 48 = 48\pi \text{ см}^2 ]

1. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} ) конуса рассчитывается по формуле:

[ S_{\text{бок}} = \pi r l ]

Подставим значения ( r = 4\sqrt{3} ) и ( l = 8 ):

[ S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 = 32\sqrt{3}\pi \text{ см}^2 ]

1. Найдем полную поверхность конуса.

Полная поверхность ( S_{\text{полн}} ) — сумма площадей основания и боковой поверхности:

[ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} ]

[ S_{\text{полн}} = 48\pi + 32\sqrt{3}\pi = \pi (48 + 32\sqrt{3}) \text{ см}^2 ]

Таким образом, полная поверхность конуса составляет (\pi (48 + 32\sqrt{3})) квадратных сантиметров.

Для нахождения полной поверхности конуса нужно вычислить площадь основания, площадь боковой поверхности и сложить их.

1. Площадь основания конуса: Площадь основания конуса можно найти по формуле S = πr^2, где r - радиус основания конуса. Так как образующая конуса равна 8 см, а угол наклона к плоскости основания составляет 30°, то можно построить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 8 см, а катет (основание конуса) равен r. Из этого треугольника можно найти r = 8 sin(30°) = 4 см. Таким образом, площадь основания S = π4^2 = 16π см^2.

2. Площадь боковой поверхности конуса: Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле S = πrl, где r - радиус основания конуса, l - образующая конуса. Таким образом, S = π48 = 32π см^2.

3. Полная поверхность конуса: Полная поверхность конуса равна сумме площади основания и боковой поверхности: S = S_osnovaniya + S_bokovoy_poverhnosti = 16π + 32π = 48π см^2.

Итак, полная поверхность данного конуса равна 48π квадратных сантиметров.