Образующая конуса длина 8 наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов Найдите высоту конуса

Высота конуса равна 4.

Для решения данной задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Образующая конуса (l), высота конуса (h) и радиус основания (r) образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой.

Из условия задачи известно, что образующая l = 8 и она наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Угол между образующей и плоскостью основания – это угол между гипотенузой и прилежащим катетом (высотой конуса h) в прямоугольном треугольнике.

По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике: [ \cos(\theta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} ] где ( \theta = 30^\circ ), прилежащий катет – это высота h, а гипотенуза – это образующая l.

Известно, что ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Тогда: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{8} ]

Отсюда, выразим высоту h: [ h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} ]

Таким образом, высота конуса составляет ( 4\sqrt{3} ) (приблизительно 6.93 единицы).

Для нахождения высоты конуса воспользуемся правилом синусов. Обозначим высоту конуса за h. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса, имеем:

h^2 + (R)^2 = (8)^2,

где R - радиус основания конуса. Также, из геометрических соображений ясно, что:

R = 8 * sin(30) = 4,

поскольку sin(30 градусов) = 1/2. Подставляя это значение в уравнение, получаем:

h^2 + (4)^2 = (8)^2,

h^2 + 16 = 64,

h^2 = 48,

h = √48 = 4√3.

Таким образом, высота конуса составляет 4√3 единицы длины.