Объем конуса равен 16π см³. а его высота имеет длину 3 см,найдите бококвую поверхность конуса

Чтобы найти боковую поверхность конуса, сначала разберёмся с формулой её вычисления. Боковая поверхность конуса равна:

[ S_{\text{бок}} = \pi r l, ]

где:

• ( r ) — радиус основания конуса,
• ( l ) — образующая конуса (наклонная сторона).

Для начала у нас есть объём конуса, который задаётся формулой:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, ]

где:

• ( h ) — высота конуса,
• ( r ) — радиус основания.

Шаг 1: Найдём радиус основания ( r )

Подставим известные данные (( V = 16\pi ), ( h = 3 )) в формулу объёма и решим уравнение относительно ( r ):

[ 16\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 3. ]

Сократим ( \pi ) и упростим:

[ 16 = r^2. ]

Возьмём корень из обеих сторон:

[ r = 4 \, \text{см}. ]

Шаг 2: Найдём образующую ( l )

Образующую ( l ) можно найти с помощью теоремы Пифагора, так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника, где:

• ( r ) — радиус основания (один катет),
• ( h ) — высота (второй катет).

Формула для образующей:

[ l = \sqrt{r^2 + h^2}. ]

Подставим значения ( r = 4 ) и ( h = 3 ):

[ l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}. ]

Шаг 3: Найдём боковую поверхность

Теперь, когда мы знаем ( r = 4 ) и ( l = 5 ), подставим их в формулу для боковой поверхности:

[ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Боковая поверхность конуса равна ( 20\pi \, \text{см}^2 ) или примерно ( 62,8 \, \text{см}^2 ) (если использовать приближённое значение ( \pi \approx 3,14 )).

Для нахождения боковой поверхности конуса нам сначала нужно определить его радиус основания. Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

где:

• ( V ) — объем конуса,
• ( r ) — радиус основания,
• ( h ) — высота конуса.

Дано, что объем ( V = 16\pi ) см³ и высота ( h = 3 ) см. Подставим известные значения в формулу:

[ 16\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 3 ]

Сократим (\pi) и (3):

[ 16 = r^2 ]

Теперь найдем радиус ( r ):

[ r = \sqrt{16} = 4 \text{ см} ]

Теперь, когда мы знаем радиус основания, можем найти боковую поверхность конуса. Формула для боковой поверхности конуса выглядит так:

[ S_{б} = \pi r l ]

где ( l ) — образующая конуса (длина наклонной стороны). Для нахождения ( l ) используем теорему Пифагора. Образующая ( l ) может быть найдена по формуле:

[ l = \sqrt{r^2 + h^2} ]

Подставим значения радиуса и высоты:

[ l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

Теперь подставим радиус и образующую в формулу для боковой поверхности:

[ S_{б} = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, боковая поверхность конуса равна ( 20\pi ) см².