Напишите уравнение окружности с центром A(-1,2), проходящую через точку B(0,1)

Уравнение окружности в общем виде записывается как:

[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2, ]

где ((x_0, y_0)) — это координаты центра окружности, а (R) — её радиус.

В нашей задаче:

• Центр окружности (A(-1, 2)),
• Точка (B(0, 1)) лежит на окружности.

Шаг 1. Найдём радиус (R).
Радиус окружности — это расстояние между её центром ((x_0, y_0)) и любой точкой на окружности. В данном случае, радиус равен расстоянию между точками (A(-1, 2)) и (B(0, 1)). Расстояние между двумя точками в координатной плоскости вычисляется по формуле:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

Подставим координаты (A(-1, 2)) и (B(0, 1)):

[ R = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (1 - 2)^2}. ]

Упростим выражение:

[ R = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}. ]

Итак, радиус окружности (R = \sqrt{2}).

Шаг 2. Запишем уравнение окружности.
Теперь, зная центр окружности ((-1, 2)) и радиус (R = \sqrt{2}), подставим их в общее уравнение окружности:

[ (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2. ]

Упростим:

[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 2. ]

Итак, уравнение окружности:

[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 2. ]

Ответ: Уравнение окружности с центром в точке (A(-1, 2)), проходящей через точку (B(0, 1)), имеет вид:

[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 2. ]

Чтобы написать уравнение окружности с заданным центром и проходящей через определенную точку, нам нужно воспользоваться стандартной формой уравнения окружности.

Уравнение окружности с центром в точке ( A(h, k) ) и радиусом ( r ) имеет вид:

[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ]

В нашем случае центр окружности ( A(-1, 2) ). Это значит, что ( h = -1 ) и ( k = 2 ).

Теперь нам нужно найти радиус ( r ). Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до любой точки на ее окружности. Мы знаем, что окружность проходит через точку ( B(0, 1) ). Для нахождения радиуса воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Подставим координаты центра ( A(-1, 2) ) и точки ( B(0, 1) ):

[ r = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (1 - 2)^2} ]

Упростим это выражение:

[ r = \sqrt{(0 + 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ]

Теперь, когда мы знаем радиус ( r = \sqrt{2} ), можем подставить значения ( h ), ( k ) и ( r ) в уравнение окружности:

[ (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 ]

Упрощаем:

[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 2 ]

Таким образом, уравнение окружности с центром ( A(-1, 2) ) и проходящей через точку ( B(0, 1) ) имеет вид:

[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 2 ]