Написать уравнение прямой проходящей через точку а (2; 4) и удаленной от начала координат на расстояние...

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку ( A(2, 4) ) и находящейся на расстоянии ( d = 2 ) от начала координат, мы можем воспользоваться следующим подходом.

1. Общее уравнение прямой. Прямая в декартовой системе координат может быть задана уравнением ( Ax + By + C = 0 ). Нам нужно определить коэффициенты ( A ), ( B ) и ( C ) так, чтобы прямая удовлетворяла условиям задачи.

2. Условие прохождения через точку ( A(2, 4) ). Подставив координаты точки ( A ) в уравнение прямой, получаем: [ 2A + 4B + C = 0 ]

3. Условие расстояния от начала координат. Расстояние от точки ( (x_0, y_0) ) до прямой, заданной уравнением ( Ax + By + C = 0 ), вычисляется по формуле: [ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ] Для начала координат ( (0, 0) ) это упрощается до: [ d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ] Подставив ( d = 2 ), получаем: [ \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = 2 ] Отсюда следует: [ |C| = 2\sqrt{A^2 + B^2} ] или [ C = \pm 2\sqrt{A^2 + B^2} ]

4. Система уравнений. Теперь у нас есть две системы уравнений: [ \begin{cases} 2A + 4B + C = 0 \ C = \pm 2\sqrt{A^2 + B^2} \end{cases} ]

5. Решение системы. Подставим ( C = -2A - 4B ) из первого уравнения во второе: [ -2A - 4B = \pm 2\sqrt{A^2 + B^2} ] Квадрат обеих частей: [ (2A + 4B)^2 = 4(A^2 + B^2) ] Раскроем скобки и упростим: [ 4A^2 + 16AB + 16B^2 = 4A^2 + 4B^2 ] Упростив: [ 16AB + 12B^2 = 0 ] Разделим на 4: [ 4AB + 3B^2 = 0 ] Разделим на ( B ) (предполагая, что ( B \neq 0 )): [ 4A + 3B = 0 ] Отсюда ( A = -\frac{3}{4}B ).

6. Подставим обратно. Подставим ( A = -\frac{3}{4}B ) в выражение для ( C ): [ C = -2\left(-\frac{3}{4}B\right) - 4B = \frac{3}{2}B - 4B = -\frac{5}{2}B ] Теперь подставим ( A ) и ( C ) в уравнение прямой: [ -\frac{3}{4}Bx + By - \frac{5}{2}B = 0 ] Разделим на ( B ) (предполагая, что ( B \neq 0 )): [ -\frac{3}{4}x + y - \frac{5}{2} = 0 ] Умножим всё уравнение на 4 для удобства: [ -3x + 4y - 10 = 0 ] Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку ( A(2, 4) ) и находящейся на расстоянии 2 от начала координат, можно записать как: [ 3x - 4y + 10 = 0 ]

Для того чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку A(2;4) и удаленной от начала координат на расстояние d=2, необходимо воспользоваться уравнением прямой в общем виде: y = kx + b.

Поскольку прямая проходит через точку A(2;4), то координаты этой точки подставим в уравнение прямой: 4 = 2k + b.

Также, по условию, прямая удалена от начала координат на расстояние d=2, следовательно, расстояние от начала координат до точки A равно 2, что можно выразить как: √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5.

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид: y = kx + b, где k и b - коэффициенты, а k = tg(α), где α - угол наклона прямой к оси ОХ.

Исходя из условий, угол наклона прямой к оси ОХ равен α = arctg(4/2) = arctg(2) ≈ 63.43°.

Тогда коэффициент k = tg(63.43°) ≈ 2.00.

Используя найденное значение k и подставляя координаты точки A, получим: 4 = 2*2 + b, откуда b = 0.

Таким образом, уравнение искомой прямой будет иметь вид: y = 2x.