Написать уравнение прямой проходящей через точку а $2;4$ и удаленной от начала координат на расстояние...

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку $A(2,4$ ) и находящейся на расстоянии $d=2$ от начала координат, мы можем воспользоваться следующим подходом.

1. Общее уравнение прямой. Прямая в декартовой системе координат может быть задана уравнением $Ax+By+C=0$. Нам нужно определить коэффициенты $A$, $B$ и $C$ так, чтобы прямая удовлетворяла условиям задачи.

2. Условие прохождения через точку $A(2,4$ ). Подставив координаты точки $A$ в уравнение прямой, получаем: $2A+4B+C=0$

3. Условие расстояния от начала координат. Расстояние от точки $(x_0,y_0$ ) до прямой, заданной уравнением $Ax+By+C=0$, вычисляется по формуле: $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ Для начала координат $(0,0$ ) это упрощается до: $d=\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ Подставив $d=2$, получаем: $\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=2$ Отсюда следует: $|C|=2\sqrt{A^2+B^2}$ или $C=\pm 2\sqrt{A^2+B^2}$

4. Система уравнений. Теперь у нас есть две системы уравнений: $\{\begin{array}{l}2A+4B+C=0C=\pm 2\sqrt{A^2+B^2}\end{array}$

5. Решение системы. Подставим $C=-2A-4B$ из первого уравнения во второе: $-2A-4B=\pm 2\sqrt{A^2+B^2}$ Квадрат обеих частей: $(2A+4B{)}^2=4(A^2+B^2)$ Раскроем скобки и упростим: $4A^2+16AB+16B^2=4A^2+4B^2$ Упростив: $16AB+12B^2=0$ Разделим на 4: $4AB+3B^2=0$ Разделим на $B$ $предполагая,что(B\ne 0$): $4A+3B=0$ Отсюда $A=-\frac{3}{4}B$.

6. Подставим обратно. Подставим $A=-\frac{3}{4}B$ в выражение для $C$: $C=-2(-\frac{3}{4}B)-4B=\frac{3}{2}B-4B=-\frac{5}{2}B$ Теперь подставим $A$ и $C$ в уравнение прямой: $-\frac{3}{4}Bx+By-\frac{5}{2}B=0$ Разделим на $B$ $предполагая,что(B\ne 0$): $-\frac{3}{4}x+y-\frac{5}{2}=0$ Умножим всё уравнение на 4 для удобства: $-3x+4y-10=0$ Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку $A(2,4$ ) и находящейся на расстоянии 2 от начала координат, можно записать как: $3x-4y+10=0$

Для того чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку A$2;4$ и удаленной от начала координат на расстояние d=2, необходимо воспользоваться уравнением прямой в общем виде: y = kx + b.

Поскольку прямая проходит через точку A$2;4$, то координаты этой точки подставим в уравнение прямой: 4 = 2k + b.

Также, по условию, прямая удалена от начала координат на расстояние d=2, следовательно, расстояние от начала координат до точки A равно 2, что можно выразить как: √$2²+4²$ = √$4+16$ = √20 = 2√5.

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид: y = kx + b, где k и b - коэффициенты, а k = tg$\alpha$, где α - угол наклона прямой к оси ОХ.

Исходя из условий, угол наклона прямой к оси ОХ равен α = arctg$4/2$ = arctg$2$ ≈ 63.43°.

Тогда коэффициент k = tg$63.43°$ ≈ 2.00.

Используя найденное значение k и подставляя координаты точки A, получим: 4 = 2*2 + b, откуда b = 0.

Таким образом, уравнение искомой прямой будет иметь вид: y = 2x.