Написать каноническое уравнение эллипса, если его малая полуось равна 5, а эксцентриситет равен 12/13

Чтобы найти каноническое уравнение эллипса, нам нужно использовать информацию о его малой полуоси и эксцентриситете.

1. Основные параметры эллипса:

   • Полуоси эллипса обозначаются как ( a ) (большая полуось) и ( b ) (малая полуось).
   • Малая полуось ( b = 5 ).

2. Эксцентриситет:

   • Эксцентриситет эллипса ( e ) связан с полуосями следующим образом: [ e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} ]
   • Нам дан эксцентриситет ( e = \frac{12}{13} ).

3. Выразим ( a ) через известные параметры:

   • Подставим известные значения в формулу эксцентриситета: [ \frac{12}{13} = \frac{\sqrt{a^2 - 5^2}}{a} ]
   • Умножим обе части уравнения на ( a ): [ 12a = 13\sqrt{a^2 - 25} ]
   • Возведем обе части уравнения в квадрат: [ 144a^2 = 169(a^2 - 25) ]
   • Раскроем скобки и упростим: [ 144a^2 = 169a^2 - 4225 ]
   • Перенесем все члены в одну часть уравнения: [ 169a^2 - 144a^2 = 4225 ]
   • Упростим: [ 25a^2 = 4225 ]
   • Разделим обе части на 25: [ a^2 = 169 ]
   • Найдем ( a ): [ a = \sqrt{169} = 13 ]

4. Каноническое уравнение эллипса:

   • Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и осями, параллельными осям координат, имеет вид: [ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ]
   • Подставим найденные значения ( a ) и ( b ): [ \frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 ]
   • Упрощаем: [ \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1 ]

Таким образом, каноническое уравнение эллипса с заданными параметрами имеет вид: [ \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1 ]

Для того чтобы написать каноническое уравнение эллипса, необходимо знать формулу для эллипса в общем виде. Эллипс можно описать уравнением:

( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ),

где a и b - соответственно большая и малая полуоси эллипса.

Также нам дана информация, что малая полуось равна 5, а эксцентриситет равен 12/13. Эксцентриситет эллипса можно выразить через большую и малую полуоси следующим образом:

( e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} ).

Подставляя известные значения, получаем:

( \frac{12}{13} = \sqrt{1 - \frac{5^2}{a^2}} ),

( \frac{144}{169} = 1 - \frac{25}{a^2} ),

( \frac{25}{a^2} = \frac{169 - 144}{169} ),

( \frac{25}{a^2} = \frac{25}{169} ),

( a^2 = 169 ).

Таким образом, большая полуось a равна 13. Подставляем полученные значения a и b в уравнение эллипса:

( \frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 ),

( \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1 ).

Таким образом, каноническое уравнение данного эллипса будет:

( \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1 ).

Каноническое уравнение эллипса: x^2/25 + y^2/b^2 = 1, где b = 12.