Найти высоту треугольной пирамиды, если все её боковые ребра по корень из 10 см, а стороны основания...

Для нахождения высоты треугольной пирамиды, где все боковые ребра равны ( \sqrt{10} ) см, а стороны основания составляют ( 5 ), ( 5 ), и ( 6 ) см, применим пошаговый подход.

1. Найдем площадь основания пирамиды

Основание — треугольник со сторонами ( a = 5 ), ( b = 5 ), ( c = 6 ). Это неравнобедренный треугольник, но он является равнобедренным, так как ( a = b ).

Полупериметр:

[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8 ]

Площадь по формуле Герона:

[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} ] Подставляем значения: [ S = \sqrt{8(8 - 5)(8 - 5)(8 - 6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}^2 ]

Итак, площадь основания ( S = 12 \, \text{см}^2 ).

2. Определим высоту пирамиды

Высота пирамиды — это перпендикуляр от вершины пирамиды (не лежащей в основании) к плоскости основания. Для нахождения высоты используем тот факт, что все боковые ребра равны.

Так как все боковые ребра равны ( \sqrt{10} ), вершина пирамиды (скажем, ( D )) равноудалена от всех трех вершин треугольника основания (( A, B, C )). Это означает, что треугольная пирамида является правильной треугольной пирамидой, а высота пирамиды проходит через центр основания.

3. Найдем центр основания

Основание ( ABC ) — равнобедренный треугольник (( AB = AC = 5 ), ( BC = 6 )). Для правильной пирамиды центр основания совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ( ABC ).

Выразим координаты вершин треугольника:

• Зафиксируем вершины треугольника в удобной системе координат. Пусть ( A(0, 0) ), ( B(6, 0) ), и ( C(3, h) ), где ( h ) — высота треугольника ( ABC ), опущенная на сторону ( BC ) (основание равнобедренного треугольника).

Найдем высоту ( h ) треугольника ( ABC ):

Используем формулу для площади треугольника через основание и высоту: [ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h ] Подставляем известные значения: [ 12 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h \quad \Rightarrow \quad h = 4 ]

Итак, координаты вершин:

• ( A(0, 0) ),
• ( B(6, 0) ),
• ( C(3, 4) ).

Центр основания (точка пересечения медиан): [ O = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) = \left( \frac{0 + 6 + 3}{3}, \frac{0 + 0 + 4}{3} \right) = (3, \frac{4}{3}) ]

4. Высота пирамиды

Высота пирамиды ( h_{\text{пир}} ) — это расстояние от вершины ( D ) до плоскости основания. Для простоты зафиксируем ( D ) в точке ( (3, \frac{4}{3}, z) ), где ( z ) — координата высоты, которую нужно найти.

Уравнение плоскости основания:

Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки ( A(0, 0) ), ( B(6, 0) ), ( C(3, 4) ). Уравнение плоскости имеет вид: [ Ax + By + Cz + D = 0 ] Найдем коэффициенты ( A, B, C, D ) через векторное произведение.

1. Векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ): [ \vec{AB} = (6 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (6, 0, 0) ] [ \vec{AC} = (3 - 0, 4 - 0, 0 - 0) = (3, 4, 0) ]

2. Векторное произведение ( \vec{AB} \times \vec{AC} ): [ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 6 & 0 & 0 \ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 4 \cdot 0) - \mathbf{j}(6 \cdot 0 - 3 \cdot 0) + \mathbf{k}(6 \cdot 4 - 0 \cdot 3) ] [ \vec{n} = (0, 0, 24) ]

Итак, вектор нормали ( \vec{n} = (0, 0, 24) ), что упрощяет поиск ответа

Для нахождения высоты треугольной пирамиды, где боковые ребра равны (\sqrt{10}) см, а стороны основания треугольника равны 5 см, 5 см и 6 см, можно воспользоваться следующими шагами.

Шаг 1: Найти площадь основания

Основание пирамиды является треугольником со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Чтобы найти площадь этого треугольника, можно воспользоваться формулой Герона.

1. Вычислим полупериметр ( p ): [ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8 \text{ см} ] где ( a = 5 ), ( b = 5 ), ( c = 6 ).

2. Теперь найдем площадь ( S ): [ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

Шаг 2: Найти высоту основания

Теперь, зная площадь основания, можно найти высоту ( h{осн} ) треугольника, проведя ее из вершины, лежащей на стороне 6 см. Используем формулу площади треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота. ] В нашем случае основание равно 6 см, тогда: [ 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h{осн}. ] Решая это уравнение: [ 4\sqrt{3} = 3h{осн} \implies h{осн} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}. ]

Шаг 3: Найти высоту пирамиды

Теперь мы знаем, что высота пирамиды ( h ) связана с высотой основания и длиной бокового ребра. Обозначим высоту пирамиды как ( h ) и высоту от вершины пирамиды до основания как ( h_{осн} ).

Используем теорему Пифагора в треугольнике, который состоит из высоты пирамиды ( h ), высоты основания ( h{осн} ) и бокового ребра (гипотенузы), равного (\sqrt{10}): [ (\sqrt{10})^2 = h^2 + h{осн}^2. ] Подставим известные значения: [ 10 = h^2 + \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2. ] Вычислим квадрат высоты основания: [ \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{16 \cdot 3}{9} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}. ] Теперь подставим это значение в уравнение: [ 10 = h^2 + \frac{16}{3}. ] Приведем 10 к общему знаменателю: [ 10 = \frac{30}{3} \implies \frac{30}{3} = h^2 + \frac{16}{3} \implies h^2 = \frac{30 - 16}{3} = \frac{14}{3}. ] Теперь найдем ( h ): [ h = \sqrt{\frac{14}{3}} = \frac{\sqrt{42}}{3} \text{ см}. ]

Ответ

Высота треугольной пирамиды равна (\frac{\sqrt{42}}{3}) см.