Найти смежные углы, если их разность и сумма относятся как 2:9

Для решения данной задачи важно вспомнить, что смежные углы — это пара углов, которые в сумме дают 180 градусов. Это значит, что если у нас есть два смежных угла ( \alpha ) и ( \beta ), то: [ \alpha + \beta = 180^\circ. ]

Также из условия известно, что разность и сумма этих углов относятся как 2:9. Это можно записать в виде уравнения: [ \frac{\alpha - \beta}{\alpha + \beta} = \frac{2}{9}. ]

Подставляя сумму углов: [ \frac{\alpha - \beta}{180} = \frac{2}{9}. ]

Чтобы найти разность углов, перекрестно умножим: [ \alpha - \beta = \frac{2}{9} \times 180 = 40^\circ. ]

Теперь у нас есть система уравнений: [ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ,\ \alpha - \beta = 40^\circ. \end{cases} ]

Сложим и вычтем эти уравнения друг из друга:

1. Сложим: [ \alpha + \beta + \alpha - \beta = 180^\circ + 40^\circ, ] [ 2\alpha = 220^\circ, ] [ \alpha = 110^\circ. ]

2. Вычтем: [ \alpha + \beta - (\alpha - \beta) = 180^\circ - 40^\circ, ] [ 2\beta = 140^\circ, ] [ \beta = 70^\circ. ]

Таким образом, смежные углы равны ( \alpha = 110^\circ ) и ( \beta = 70^\circ ), что и является ответом на задачу.

Предположим, что смежные углы обозначены как (x) и (y). Тогда у нас есть два уравнения:

1. (y - x = 2) - разность смежных углов равна 2.
2. (y + x = 9) - сумма смежных углов равна 9.

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения углов (x) и (y). Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от переменной (y):

((y - x) + (y + x) = 2 + 9)

(2y = 11)

(y = \frac{11}{2} = 5.5)

Теперь найдем значение угла (x), подставив (y = 5.5) в любое из исходных уравнений:

(x = 9 - y)

(x = 9 - 5.5)

(x = 3.5)

Таким образом, смежные углы равны 3.5 и 5.5.