Найти площадь треугольника, ограниченного прямыми у-х=0 , у+х=0 , у-2х+4=0

Чтобы найти площадь треугольника, ограниченного прямыми ( y - x = 0 ), ( y + x = 0 ) и ( y - 2x + 4 = 0 ), сначала найдем точки пересечения этих прямых, которые будут вершинами треугольника.

1. Пересечение прямых ( y - x = 0 ) и ( y + x = 0 ):

   Уравнения: [ y = x ] [ y = -x ]

   Подставим ( y = x ) во второе уравнение: [ x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0 ] Соответственно, ( y = 0 ). Точка пересечения — ( (0, 0) ).

2. Пересечение прямых ( y - x = 0 ) и ( y - 2x + 4 = 0 ):

   Уравнения: [ y = x ] [ y = 2x - 4 ]

   Подставим ( y = x ) во второе уравнение: [ x = 2x - 4 \implies x - 2x = -4 \implies -x = -4 \implies x = 4 ] Соответственно, ( y = 4 ). Точка пересечения — ( (4, 4) ).

3. Пересечение прямых ( y + x = 0 ) и ( y - 2x + 4 = 0 ):

   Уравнения: [ y = -x ] [ y = 2x - 4 ]

   Подставим ( y = -x ) во второе уравнение: [ -x = 2x - 4 \implies -x - 2x = -4 \implies -3x = -4 \implies x = \frac{4}{3} ] Соответственно, ( y = -\frac{4}{3} ). Точка пересечения — ( \left(\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}\right) ).

Теперь у нас есть три вершины треугольника: ( (0, 0) ), ( (4, 4) ), и ( \left(\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}\right) ).

Для нахождения площади треугольника с вершинами ((x_1, y_1)), ((x_2, y_2)), ((x_3, y_3)) используем формулу:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| ]

Подставим координаты наших точек:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| 0(4 + \frac{4}{3}) + 4\left(-\frac{4}{3} - 0\right) + \frac{4}{3}(0 - 4) \right| ]

[ = \frac{1}{2} \left| 0 - \frac{16}{3} - \frac{16}{3} \right| ]

[ = \frac{1}{2} \left| -\frac{32}{3} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{32}{3} = \frac{16}{3} ]

Таким образом, площадь треугольника равна (\frac{16}{3}) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь треугольника, ограниченного этими прямыми, необходимо найти точки их пересечения. После этого можно построить треугольник и найти его площадь с помощью формулы площади треугольника.

Для начала найдем точки пересечения прямых:

1. у - х = 0 -> у = х
2. у + х = 0 -> у = -х
3. у - 2х + 4 = 0 -> у = 2х - 4

Теперь найдем точки пересечения прямых:

1. Пересечение прямых у - х = 0 и у + х = 0: х = у = 0

2. Пересечение прямых у + х = 0 и у - 2х + 4 = 0: 2х - 4 + х = 0 3х = 4 х = 4/3 у = -4/3

3. Пересечение прямых у - х = 0 и у - 2х + 4 = 0: 2х - 4 - х = 0 х = 4 у = 4

Таким образом, получаем три точки пересечения прямых: (0, 0), (4/3, -4/3), (4, 4).

Теперь можем построить треугольник и найти его площадь с помощью формулы площади треугольника по координатам вершин:

S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

S = 0.5 * |0(4 + 4/3) + 4/3(4) + 4(-4/3)|

S = 0.5 * |0 + 16/3 - 16/3|

S = 0.5 * 0

S = 0

Таким образом, площадь треугольника, ограниченного прямыми у - х = 0, у + х = 0, у - 2х + 4 = 0 равна 0.