Найти косинус угла между векторами , если a(-3:4) и b(3:4)

Для того чтобы найти косинус угла между двумя векторами, используем известную формулу:

[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}, ]

где:

• (\vec{a} \cdot \vec{b}) — это скалярное произведение векторов (\vec{a}) и (\vec{b}),
• (|\vec{a}|) и (|\vec{b}|) — длины (модули) векторов (\vec{a}) и (\vec{b}).

Дано:

[ \vec{a} = (-3, 4), \quad \vec{b} = (3, 4). ]

1. Найдем скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение двух векторов ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)) вычисляется по формуле: [ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2. ]

Подставим координаты: [ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 3 + 4 \cdot 4 = -9 + 16 = 7. ]

2. Найдем длины векторов (|\vec{a}|) и (|\vec{b}|):

Длина вектора ((x, y)) вычисляется по формуле: [ |\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}. ]

Для (\vec{a} = (-3, 4)): [ |\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. ]

Для (\vec{b} = (3, 4)): [ |\vec{b}| = \sqrt{(3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. ]

3. Подставим результаты в формулу для косинуса:

[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. ]

Подставим значения: [ \cos\theta = \frac{7}{5 \cdot 5} = \frac{7}{25}. ]

Ответ:

Косинус угла между векторами равен: [ \cos\theta = \frac{7}{25}. ]

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), необходимо воспользоваться формулой, связывающей скалярное произведение векторов с их длинами и косинусом угла между ними.

Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) заданы следующими координатами: [ \mathbf{a} = (-3, 4) ] [ \mathbf{b} = (3, 4) ]

Шаг 1: Найти скалярное произведение векторов

Скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) вычисляется по формуле: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 ] где ( a_1 ) и ( a_2 ) — координаты вектора ( \mathbf{a} ), а ( b_1 ) и ( b_2 ) — координаты вектора ( \mathbf{b} ).

Подставляем координаты: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-3) \cdot 3 + 4 \cdot 4 = -9 + 16 = 7 ]

Шаг 2: Найти длины векторов

Длина вектора ( \mathbf{a} ) определяется как: [ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Длина вектора ( \mathbf{b} ) определяется аналогично: [ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Шаг 3: Найти косинус угла

Косинус угла ( \theta ) между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) можно найти по формуле: [ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

Подставляем найденные значения: [ \cos(\theta) = \frac{7}{5 \cdot 5} = \frac{7}{25} ]

Ответ

Косинус угла между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен ( \frac{7}{25} ).

Чтобы найти косинус угла между векторами ( \mathbf{a}(-3, 4) ) и ( \mathbf{b}(3, 4) ), используем формулу:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

1. Сначала найдем скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ): [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-3) \cdot 3 + 4 \cdot 4 = -9 + 16 = 7 ]

2. Теперь найдем длины векторов ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ): [ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ] [ |\mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

3. Подставим значения в формулу: [ \cos \theta = \frac{7}{5 \cdot 5} = \frac{7}{25} ]

Таким образом, косинус угла между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен ( \frac{7}{25} ).