Найти единичный вектор m, перпендикулярный векторам a=2i+j+k и b={1,1,2}.

Для того чтобы найти единичный вектор m, перпендикулярный векторам a и b, мы можем воспользоваться методом векторного произведения.

Сначала найдем векторное произведение векторов a и b, чтобы получить вектор, перпендикулярный им обоим: a x b = (i, j, k)

   (2, 1, 1)
   (1, 1, 2)
   

a x b = (1 - 1)i - (2 - 1)j + (2 - 1)k a x b = 0i - 1j + 1k a x b = -j + k

Теперь нам нужно найти единичный вектор, параллельный вектору -j + k. Для этого нам нужно нормализовать этот вектор, то есть поделить его на его длину: |m| = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(2)

Теперь единичный вектор m будет равен: m = (-1 / sqrt(2))j + (1 / sqrt(2))k

Таким образом, единичный вектор m, перпендикулярный векторам a = 2i + j + k и b = {1,1,2}, будет равен (-1 / sqrt(2))j + (1 / sqrt(2))k.

Чтобы найти единичный вектор ( \mathbf{m} ), перпендикулярный векторам ( \mathbf{a} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} ) и ( \mathbf{b} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} ), мы можем использовать векторное произведение. Векторное произведение двух векторов даёт вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам.

1. Вычисление векторного произведения (\mathbf{a} \times \mathbf{b}):

   Для двух векторов (\mathbf{a} = (2, 1, 1)) и (\mathbf{b} = (1, 1, 2)), векторное произведение (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) можно найти с помощью определителя:

   [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 2 \ \end{vmatrix} ]

   Разложим определитель по первому ряду:

   [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) ]

   [ = \mathbf{i}(2 - 1) - \mathbf{j}(4 - 1) + \mathbf{k}(2 - 1) ]

   [ = \mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k} ]

   Таким образом, (\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}).

2. Нахождение единичного вектора (\mathbf{m}):

   Чтобы получить единичный вектор, нужно разделить вектор (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) на его длину.

   Сначала найдём длину вектора (\mathbf{a} \times \mathbf{b}):

   [ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} ]

   Теперь найдём единичный вектор (\mathbf{m}):

   [ \mathbf{m} = \frac{\mathbf{a} \times \mathbf{b}}{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|} = \frac{1}{\sqrt{11}}(\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}) ]

   Таким образом, единичный вектор (\mathbf{m}), перпендикулярный векторам (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), равен:

   [ \mathbf{m} = \frac{1}{\sqrt{11}} \mathbf{i} - \frac{3}{\sqrt{11}} \mathbf{j} + \frac{1}{\sqrt{11}} \mathbf{k} ]