Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0) и C(3; -2; 1).

Длины сторон: AB ≈ 3.61, BC ≈ 5.1, AC ≈ 6.08 Величины углов: ∠A ≈ 65.6°, ∠B ≈ 75.9°, ∠C ≈ 58.5°

Для того чтобы найти длины сторон и величины углов треугольника, сначала найдем длины сторон:

1. Длина стороны AB: AB = √( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 ) AB = √( (-4 + 1)^2 + (-2 + 2)^2 + (0 - 4)^2 ) AB = √( 3^2 + 0 + (-4)^2 ) AB = √( 9 + 16 ) AB = √25 AB = 5

2. Длина стороны BC: BC = √( (x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2 ) BC = √( (3 + 4)^2 + (-2 + 2)^2 + (1 - 0)^2 ) BC = √( 7^2 + 0 + 1^2 ) BC = √( 49 + 1 ) BC = √50

3. Длина стороны AC: AC = √( (x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2 ) AC = √( (3 + 1)^2 + (-2 + 2)^2 + (1 - 4)^2 ) AC = √( 4^2 + 0 + (-3)^2 ) AC = √( 16 + 9 ) AC = √25 AC = 5

Теперь найдем величины углов треугольника. Для этого воспользуемся косинусной теоремой:

1. Угол A: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc cos(A) = (5^2 + 5^2 - 5^2) / (255) cos(A) = (25 + 25 - 25) / 50 cos(A) = 25 / 50 cos(A) = 0.5 A = arccos(0.5) A = 60°

2. Угол B: cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac cos(B) = (5^2 + √50^2 - 5^2) / (25√50) cos(B) = (25 + 50 - 25) / (10√2) cos(B) = 50 / (10√2) cos(B) = 5 / √2 B = arccos(5 / √2) B ≈ 14.48°

3. Угол C: cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab cos(C) = (5^2 + 5^2 - √50^2) / (255) cos(C) = (25 + 25 - 50) / 50 cos(C) = 0 / 50 C = arccos(0) C = 90°

Итак, длины сторон треугольника равны 5, √50 и 5, а величины углов 60°, 14.48° и 90° соответственно.

Для того чтобы найти длины сторон и величины углов треугольника с заданными вершинами, воспользуемся формулами из аналитической геометрии.

Длины сторон

Для нахождения длины стороны треугольника, заданного координатами вершин в пространстве, используем формулу расстояния между двумя точками: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

1. Длина стороны AB: [ AB = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (-2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

2. Длина стороны BC: [ BC = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (-2 - (-2))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(7)^2 + 0^2 + (1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

3. Длина стороны AC: [ AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(4)^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 ]

Величины углов

Для нахождения величин углов треугольника используем скалярное произведение векторов. Пусть (\vec{AB}), (\vec{BC}), и (\vec{AC}) — векторы, соответствующие сторонам треугольника.

1. Вектор (\vec{AB}): [ \vec{AB} = (-4 + 1, -2 + 2, 0 - 4) = (-3, 0, -4) ]

2. Вектор (\vec{BC}): [ \vec{BC} = (3 + 4, -2 + 2, 1 - 0) = (7, 0, 1) ]

3. Вектор (\vec{AC}): [ \vec{AC} = (3 + 1, -2 + 2, 1 - 4) = (4, 0, -3) ]

Скалярное произведение векторов (\vec{u}) и (\vec{v}) вычисляется как: [ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z ]

Косинус угла между векторами (\vec{u}) и (\vec{v}): [ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} ]

1. Угол (\angle ABC) между векторами (\vec{AB}) и (\vec{BC}): [ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot 7 + 0 \cdot 0 + (-4) \cdot 1 = -21 - 4 = -25 ] [ |\vec{AB}| = 5, \quad |\vec{BC}| = 5\sqrt{2} ] [ \cos \angle ABC = \frac{-25}{5 \times 5\sqrt{2}} = \frac{-25}{25\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} ] [ \angle ABC = 135^\circ ]

2. Угол (\angle BAC) между векторами (\vec{AB}) и (\vec{AC}): [ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 4 + 0 \cdot 0 + (-4) \cdot (-3) = -12 + 12 = 0 ] [ \cos \angle BAC = \frac{0}{5 \times 5} = 0 ] [ \angle BAC = 90^\circ ]

3. Угол (\angle ACB) между векторами (\vec{AC}) и (\vec{BC}): [ \vec{AC} \cdot \vec{BC} = (4) \cdot 7 + 0 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = 28 - 3 = 25 ] [ |\vec{AC}| = 5, \quad |\vec{BC}| = 5\sqrt{2} ] [ \cos \angle ACB = \frac{25}{5 \times 5\sqrt{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ] [ \angle ACB = 45^\circ ]

Таким образом, треугольник имеет длины сторон (AB = 5), (BC = 5\sqrt{2}), (AC = 5) и углы (\angle BAC = 90^\circ), (\angle ABC = 135^\circ), (\angle ACB = 45^\circ).