Найдите величину вектора m если m=1/3(вектор a+ b)-1/2(a-b)

Для того чтобы найти величину вектора ( \mathbf{m} ), заданного выражением ( \mathbf{m} = \frac{1}{3}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) - \frac{1}{2}(\mathbf{a} - \mathbf{b}) ), нужно сначала упростить данное выражение, а затем найти его длину (или норму).

Шаг 1: Упрощение выражения для вектора ( \mathbf{m} ).

Раскроем скобки и соберем подобные векторы:

[ \mathbf{m} = \frac{1}{3}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) - \frac{1}{2}(\mathbf{a} - \mathbf{b}) ]

[ \mathbf{m} = \frac{1}{3}\mathbf{a} + \frac{1}{3}\mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} ]

Теперь приведем коэффициенты при (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) к общему знаменателю:

[ \mathbf{m} = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right)\mathbf{a} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)\mathbf{b} ]

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

[ \mathbf{m} = \left(\frac{2}{6} - \frac{3}{6}\right)\mathbf{a} + \left(\frac{2}{6} + \frac{3}{6}\right)\mathbf{b} ]

[ \mathbf{m} = \left(-\frac{1}{6}\right)\mathbf{a} + \left(\frac{5}{6}\right)\mathbf{b} ]

Таким образом, выражение для вектора ( \mathbf{m} ) становится:

[ \mathbf{m} = -\frac{1}{6}\mathbf{a} + \frac{5}{6}\mathbf{b} ]

Шаг 2: Нахождение величины (нормы) вектора ( \mathbf{m} ).

Для этого необходимо использовать формулу для нормы вектора (\mathbf{m} = k_1\mathbf{a} + k_2\mathbf{b}):

[ ||\mathbf{m}|| = \sqrt{(k_1)^2 ||\mathbf{a}||^2 + (k_2)^2 ||\mathbf{b}||^2 + 2k_1k_2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})} ]

В нашем случае ( k_1 = -\frac{1}{6} ) и ( k_2 = \frac{5}{6} ), поэтому:

[ ||\mathbf{m}|| = \sqrt{\left(-\frac{1}{6}\right)^2 ||\mathbf{a}||^2 + \left(\frac{5}{6}\right)^2 ||\mathbf{b}||^2 + 2\left(-\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})} ]

[ ||\mathbf{m}|| = \sqrt{\frac{1}{36} ||\mathbf{a}||^2 + \frac{25}{36} ||\mathbf{b}||^2 - \frac{10}{36} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})} ]

[ ||\mathbf{m}|| = \sqrt{\frac{1}{36} ||\mathbf{a}||^2 + \frac{25}{36} ||\mathbf{b}||^2 - \frac{5}{18} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})} ]

Таким образом, величина вектора ( \mathbf{m} ) зависит от длин векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), а также скалярного произведения этих векторов. Если известны конкретные значения ( ||\mathbf{a}|| ), ( ||\mathbf{b}|| ) и ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ), то можно подставить их в полученное выражение и вычислить величину вектора ( \mathbf{m} ).

Для того чтобы найти величину вектора m, нужно сначала выразить вектор m через векторы a и b, а затем найти его длину.

Имеем: m = 1/3(a + b) - 1/2(a - b)

Раскроем скобки: m = 1/3a + 1/3b - 1/2a + 1/2b m = 1/3a - 1/2a + 1/3b + 1/2b m = (1/3 - 1/2)a + (1/3 + 1/2)b m = (-1/6)a + (5/6)b

Теперь найдем длину вектора m: |m| = √((-1/6)^2 + (5/6)^2) |m| = √(1/36 + 25/36) |m| = √(26/36) |m| = √(13/18) |m| = √13 / √18 |m| = √13 / 3√2 |m| = √13 * √2 / 3 |m| = √26 / 3

Таким образом, величина вектора m равна √26 / 3.