Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ если точка А имеет координаты (-√3;1)

Для нахождения угла между лучом (OA) и положительной полуосью (OX), где точка (A) имеет координаты ((- \sqrt{3}, 1)), мы можем воспользоваться понятием угла вектора относительно оси (OX).

1. Определение координат вектора (OA): Вектор (OA) имеет координаты ((- \sqrt{3}, 1)).

2. Определение угла вектора с осью (OX): Угол (\theta) между вектором и положительной полуосью (OX) можно найти с помощью арктангенса отношения ординаты к абсциссе. Формула для нахождения угла (\theta) выглядит следующим образом: [ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) ] где (x = -\sqrt{3}) и (y = 1).

3. Вычисление арктангенса: Подставим значения (x) и (y) в формулу: [ \theta = \arctan\left(\frac{1}{- \sqrt{3}}\right) = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) ]

4. Учитывание знака и квадранта: Поскольку (x = -\sqrt{3}) и (y = 1), точка (A) находится во втором квадранте. В этом квадранте угол (\theta) будет положительным, но необходимо добавить (\pi) (или 180 градусов) к результату арктангенса отрицательного значения для корректного определения угла относительно положительной полуоси (OX).

5. Преобразование арктангенса: Зная, что (\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}), мы добавляем (\pi) к этому значению: [ \theta = \pi + \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} ]

Таким образом, угол между лучом (OA) и положительной полуосью (OX) составляет (\frac{5\pi}{6}) радиан или 150 градусов.

Для того чтобы найти угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ, нам необходимо вычислить угол между направляющим вектором луча ОА и положительным направлением оси ОХ.

Найдем сначала направляющий вектор луча ОА. Для этого нужно вычислить разность координат точки А и начала координат О: OA = (-√3; 1) - (0; 0) = (-√3; 1)

Теперь выразим угол между вектором OA и положительной полуосью ОХ через скалярное произведение векторов: cos(α) = (OA OX) / (|OA| |OX|)

где |OA| - длина вектора OA, |OX| - длина вектора OX, а * обозначает скалярное произведение векторов.

Длина вектора OA: |OA| = √((-√3)^2 + 1^2) = √(3 + 1) = √4 = 2

Теперь найдем скалярное произведение векторов OA и OX: OA OX = (-√3) 1 + 1 * 0 = -√3

Длина вектора OX равна 1 (так как это единичный вектор), поэтому |OX| = 1.

Подставляем все значения в формулу для нахождения угла: cos(α) = (-√3) / (2 * 1) = -√3 / 2

Отсюда получаем, что угол α между лучом ОА и положительной полуосью ОХ равен arccos(-√3 / 2) ≈ 150 градусов.