Найдите скалярное произведение векторов а$3;5$ и b$-2;1$

Скалярное произведение двух векторов a$3;5$ и b$-2;1$ вычисляется по формуле: a b = 3$-2$ + 5*1 = -6 + 5 = -1

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно -1.

Скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ определяется как сумма произведений соответствующих компонентов этих векторов. Если векторы заданы в координатной форме $\mathbf{a}=(a_1,a_2$ ) и $\mathbf{b}=(b_1,b_2$ ), то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$

Для векторов $\mathbf{a}=(3,5$ ) и $\mathbf{b}=(-2,1$ ) это будет:

1. Найдите произведение первых компонентов:

$3\cdot (-2)=-6$

1. Найдите произведение вторых компонентов:

$5\cdot 1=5$

1. Сложите найденные значения:

$-6+5=-1$

Таким образом, скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ равно:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-1$

Скалярное произведение имеет несколько интерпретаций и применений. Одним из важных свойств скалярного произведения является то, что оно связано с углом между векторами. Формула для скалярного произведения через угол $\theta$ между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ следующая:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \cos (\theta )$

где $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ — длины векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ соответственно.

Длины векторов можно найти по формулам:

$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$

$|\mathbf{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

Зная скалярное произведение и длины векторов, можно найти косинус угла между ними:

$\cos (\theta )=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|}=\frac{-1}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}}=\frac{-1}{\sqrt{170}}$

Таким образом, скалярное произведение векторов $\mathbf{a}=(3,5$ ) и $\mathbf{b}=(-2,1$ ) равно $-1$.