Найдите скалярное произведение векторов а(3;5) и b(-2;1)

Скалярное произведение двух векторов a(3;5) и b(-2;1) вычисляется по формуле: a b = 3(-2) + 5*1 = -6 + 5 = -1

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно -1.

Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) определяется как сумма произведений соответствующих компонентов этих векторов. Если векторы заданы в координатной форме ( \mathbf{a} = (a_1, a_2) ) и ( \mathbf{b} = (b_1, b_2) ), то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 ]

Для векторов ( \mathbf{a} = (3, 5) ) и ( \mathbf{b} = (-2, 1) ) это будет:

1. Найдите произведение первых компонентов:

[ 3 \cdot (-2) = -6 ]

1. Найдите произведение вторых компонентов:

[ 5 \cdot 1 = 5 ]

1. Сложите найденные значения:

[ -6 + 5 = -1 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -1 ]

Скалярное произведение имеет несколько интерпретаций и применений. Одним из важных свойств скалярного произведения является то, что оно связано с углом между векторами. Формула для скалярного произведения через угол ( \theta ) между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) следующая:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) ]

где ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) соответственно.

Длины векторов можно найти по формулам:

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} ]

[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} ]

Зная скалярное произведение и длины векторов, можно найти косинус угла между ними:

[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} = \frac{-1}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{170}} ]

Таким образом, скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} = (3, 5) ) и ( \mathbf{b} = (-2, 1) ) равно (-1).