Найдите скалярное произведение b(a-2b), если |a|=2, |b|=4, а угол между векторами a и b равен 135 градусов. Пожалуйста, если можно, объясните решение. т.к. нужно после будет объяснить другому человеку.
Найдите скалярное произведение b(a-2b), если |a|=2, |b|=4, а угол между векторами a и b равен 135 градусов. Пожалуйста, если можно, объясните решение. т.к. нужно после будет объяснить другому человеку.
Для начала, давайте разберем, что такое скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение векторов (\mathbf{u}) и (\mathbf{v}) определяется как ( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos \theta ), где ( |\mathbf{u}| ) и ( |\mathbf{v}| ) - модули векторов, а ( \theta ) - угол между векторами.
В данной задаче нужно найти скалярное произведение ( b(a - 2b) ). Это выражение можно переписать, используя дистрибутивность скалярного произведения:
[ \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - 2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} ]
Найдем ( \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} ): [ \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{b}| |\mathbf{a}| \cos \theta = 4 \cdot 2 \cdot \cos 135^\circ ] Угол 135 градусов — это угол, больше 90 градусов, что означает, что косинус будет отрицательным. Косинус 135 градусов равен (-\frac{\sqrt{2}}{2}): [ \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = 4 \cdot 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -8\frac{\sqrt{2}}{2} = -4\sqrt{2} ]
Найдем ( \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} ): Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля: [ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = 4^2 = 16 ]
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: [ \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = -4\sqrt{2} - 2 \cdot 16 = -4\sqrt{2} - 32 ]
Таким образом, скалярное произведение ( \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) ) равно ( -4\sqrt{2} - 32 ).
Скалярное произведение векторов a и b равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними. Длины векторов a и b равны |a|=2 и |b|=4, соответственно. Угол между векторами a и b равен 135 градусам.
Таким образом, скалярное произведение векторов b и (a-2b) будет равно 24cos(135°) = 24(-sqrt(2)/2) = -4*sqrt(2).
Ответ: -4*sqrt(2).
Для нахождения скалярного произведения векторов a и b, необходимо умножить их длины на косинус угла между ними. Сначала найдем косинус угла между векторами a и b:
cos(135 градусов) = -cos(45 градусов) = -1/√2
Далее вычисляем скалярное произведение:
b(a-2b) = b a - 2b b = 4 2 (-1/√2) - 2 4 4 = -8/√2 - 32 = -8√2 - 32
Итак, скалярное произведение векторов b(a-2b) равно -8√2 - 32.
