найдите синус и косинус острых углов А и В треугольника с прямым углом С, если 1) ВС=21 АС=20 АВ=29 2)ВС=24 АВ=25 АС=7
найдите синус и косинус острых углов А и В треугольника с прямым углом С, если 1) ВС=21 АС=20 АВ=29 2)ВС=24 АВ=25 АС=7
Для решения задачи нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и теоремой Пифагора. Давайте разберем каждую из ситуаций.
Сначала проверим, что треугольник действительно прямоугольный. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы должен равняться сумме квадратов катетов:
[ AB^2 = BC^2 + AC^2 ]
Подставим известные значения:
[ 29^2 = 21^2 + 20^2 ]
Посчитаем:
[ 841 = 441 + 400 ]
[ 841 = 841 ]
Треугольник действительно прямоугольный. Углы ( A ) и ( B ) — острые углы. Теперь найдем синус и косинус каждого из этих углов.
Синус угла ( A ) (( \sin A )):
[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} ]
Косинус угла ( A ) (( \cos A )):
[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} ]
Синус угла ( B ) (( \sin B )):
[ \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} ]
Косинус угла ( B ) (( \cos B )):
[ \cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} ]
Снова проверим, что треугольник прямоугольный:
[ AB^2 = BC^2 + AC^2 ]
Подставим известные значения:
[ 25^2 = 24^2 + 7^2 ]
Посчитаем:
[ 625 = 576 + 49 ]
[ 625 = 625 ]
Треугольник также прямоугольный. Найдем синус и косинус углов ( A ) и ( B ).
Синус угла ( A ) (( \sin A )):
[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{24}{25} ]
Косинус угла ( A ) (( \cos A )):
[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{25} ]
Синус угла ( B ) (( \sin B )):
[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{25} ]
Косинус угла ( B ) (( \cos B )):
[ \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{24}{25} ]
Таким образом, для обоих случаев мы нашли значения синусов и косинусов острых углов треугольника.
1) Для нахождения синуса и косинуса острых углов треугольника сначала нужно найти все стороны треугольника. По теореме Пифагора для первого треугольника ACB: AB^2 = AC^2 + BC^2, где AB = 29, AC = 20. Найдем BC: BC^2 = AB^2 - AC^2 = 29^2 - 20^2 = 841 - 400 = 441, BC = √441 = 21.
Теперь мы знаем все стороны треугольника ACB: AB = 29, AC = 20, BC = 21. Для нахождения синуса и косинуса острых углов А и В воспользуемся определениями:
sin(A) = BC / AB = 21 / 29 ≈ 0.7241 cos(A) = AC / AB = 20 / 29 ≈ 0.6897 sin(B) = AC / AB = 20 / 29 ≈ 0.6897 cos(B) = BC / AB = 21 / 29 ≈ 0.7241
2) Для второго треугольника ACB: AB^2 = AC^2 + BC^2, где AB = 25, AC = 7. Найдем BC: BC^2 = AB^2 - AC^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576, BC = √576 = 24.
Теперь мы знаем все стороны треугольника ACB: AB = 25, AC = 7, BC = 24. Для нахождения синуса и косинуса острых углов А и В воспользуемся определениями:
sin(A) = BC / AB = 24 / 25 = 0.96 cos(A) = AC / AB = 7 / 25 = 0.28 sin(B) = AC / AB = 7 / 25 = 0.28 cos(B) = BC / AB = 24 / 25 = 0.96
Итак, синус и косинус острых углов треугольников с данными сторонами равны: 1) sin(A) ≈ 0.7241, cos(A) ≈ 0.6897, sin(B) ≈ 0.6897, cos(B) ≈ 0.7241 2) sin(A) = 0.96, cos(A) = 0.28, sin(B) = 0.28, cos(B) = 0.96.
