Найдите радиус окружности,вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см, равен 4 см.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см, нужно воспользоваться формулой, которая связывает радиус вписанной окружности с площадью треугольника. Для равностороннего треугольника формула выглядит так: радиус окружности равен половине высоты треугольника.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: ( S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} ), где a - длина стороны треугольника.

Для треугольника со стороной 12 см площадь будет: ( S = \frac{{12^2 \sqrt{3}}}{4} = 36\sqrt{3} ) кв.см.

Теперь найдем высоту треугольника, которая равна ( h = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2 \cdot 36\sqrt{3}}}{12} = 6\sqrt{3} ) см.

И, наконец, радиус вписанной окружности будет равен половине высоты треугольника, то есть ( r = \frac{h}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} ) см.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, нужно использовать формулу, которая связывает радиус вписанной окружности ( r ) с длиной стороны треугольника ( a ). Для равностороннего треугольника эта формула выглядит так:

[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

Где:

• ( a ) — длина стороны треугольника.

В данном случае сторона треугольника равна 12 см. Подставим это значение в формулу:

[ r = \frac{12 \sqrt{3}}{6} ]

Упростим выражение:

[ r = 2 \sqrt{3} ]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см, равен ( 2 \sqrt{3} ) см.

Давайте посмотрим, откуда берется эта формула. В равностороннем треугольнике три высоты, медианы и биссектрисы совпадают. Высота ( h ) равностороннего треугольника со стороной ( a ) может быть найдена по формуле:

[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]

Площадь ( S ) равностороннего треугольника можно выразить как:

[ S = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ]

С другой стороны, площадь треугольника также связана с радиусом вписанной окружности ( r ) и полупериметром ( p = \frac{3a}{2} ) формулой:

[ S = p \times r ]

Подставив значения, получаем:

[ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a}{2} \times r ]

Решая это уравнение относительно ( r ), мы выводим:

[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

Это подтверждает корректность использования данной формулы для нахождения радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник.