Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если радиус окружности, описаной...

Радиус описанной окружности равен 16 см, что означает, что он равен половине длины стороны треугольника. Так как треугольник равносторонний, то все стороны равны между собой. Следовательно, длина стороны треугольника равна 32 см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты треугольника, опущенной из вершины на основание. Так как треугольник равносторонний, то эта высота равна высоте, проведенной из вершины на середину основания. По свойствам равностороннего треугольника, эта высота является медианой и делит основание пополам. Следовательно, ее длина равна половине длины стороны, то есть 16 см.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 16 см.

Рассмотрим равносторонний треугольник, для которого известен радиус описанной окружности ( R ), равный 16 см. Нам нужно найти радиус вписанной окружности ( r ).

В равностороннем треугольнике существует определенное соотношение между радиусами вписанной и описанной окружностей. Это соотношение выражается следующим образом: [ R = 2r ]

Где:

• ( R ) — радиус описанной окружности,
• ( r ) — радиус вписанной окружности.

Зная это соотношение, мы можем найти радиус вписанной окружности ( r ) следующим образом: [ r = \frac{R}{2} ]

Подставим значение ( R = 16 ) см: [ r = \frac{16}{2} = 8 \text{ см} ]

Таким образом, радиус вписанной окружности равностороннего треугольника составляет 8 см.

Для подтверждения этого результата можно также использовать геометрические свойства равностороннего треугольника и формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей.

1. Радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике выражается через сторону треугольника ( a ) следующим образом: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

2. Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике также выражается через сторону треугольника ( a ): [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

Из первого уравнения: [ a = R \sqrt{3} ]

Подставим это значение ( a ) во второе уравнение для ( r ): [ r = \frac{(R \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6} = \frac{R \cdot 3}{6} = \frac{R}{2} ]

Таким образом, мы еще раз подтверждаем, что: [ r = \frac{R}{2} ]

Подставив ( R = 16 ) см, получаем: [ r = 8 \text{ см} ]

Итак, радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен 8 см.