Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны...

Ваша задача — найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через вершины ( A, D, A_1, D_1 ). Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Анализ задачи

1. Правильная шестиугольная призма:

   • Основания — правильные шестиугольники.
   • Все боковые ребра призмы равны 1 (по условию).
   • Все ребра основания (граням шестиугольника) также равны 1.

2. Плоскость сечения:

   • Проходит через точки ( A, D, A_1, D_1 ).
   • Четырехугольник ( ADA_1D_1 ) — это сечение, которое мы ищем.

3. Что нужно найти:

   • Площадь четырехугольника ( ADA_1D_1 ), который образуется сечением.

2. Построение и расположение точек

(а) Координаты точек правильной шестиугольной призмы

Расположим призму так, чтобы центр нижнего основания совпадал с началом координат, а нижнее основание лежало в плоскости ( z = 0 ). Высота призмы равна ( 1 ), и верхнее основание лежит в плоскости ( z = 1 ).

1. Координаты вершин нижнего основания: Используя геометрию правильного шестиугольника, вершины нижнего основания ( ABCDEF ) будут иметь координаты: [ A = (1, 0, 0), \quad B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), \quad C = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), ] [ D = (-1, 0, 0), \quad E = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), \quad F = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right). ]

2. Координаты вершин верхнего основания: Верхнее основание параллельно нижнему, сдвинуто вверх по оси ( z ) на 1. Поэтому координаты: [ A_1 = (1, 0, 1), \quad B_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right), \quad C_1 = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right), ] [ D_1 = (-1, 0, 1), \quad E_1 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right), \quad F_1 = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right). ]

(б) Четырехугольник ( ADA_1D_1 )

Сечение плоскостью через точки ( A, D, A_1, D_1 ) образует четырехугольник, вершины которого: [ A = (1, 0, 0), \quad D = (-1, 0, 0), \quad A_1 = (1, 0, 1), \quad D_1 = (-1, 0, 1). ]

3. Геометрия четырехугольника ( ADA_1D_1 )

Обратим внимание на свойства четырехугольника:

1. Точки ( A ) и ( D ) находятся на нижнем основании, ( z = 0 ).
2. Точки ( A_1 ) и ( D_1 ) находятся на верхнем основании, ( z = 1 ).
3. Все вершины лежат в одной вертикальной плоскости ( xz ), так как ( y )-координаты всех точек равны 0.

Фактически, четырехугольник ( ADA_1D_1 ) — это прямоугольник:

• Его одна сторона ( AD ) лежит в нижнем основании призмы.
• Его другая сторона ( A_1D_1 ) лежит в верхнем основании призмы.
• Высота прямоугольника равна высоте призмы (( 1 )).

4. Длины сторон прямоугольника

1. Длина ( AD ): Расстояние между точками ( A = (1, 0, 0) ) и ( D = (-1, 0, 0) ): [ AD = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2} = 2. ]

2. Длина ( AA_1 ) (или ( DD_1 )): Расстояние между точками ( A = (1, 0, 0) ) и ( A_1 = (1, 0, 1) ): [ AA_1 = \sqrt{(1 - 1)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1^2} = 1. ]

5. Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: [ S = AD \cdot AA_1 = 2 \cdot 1 = 2. ]

Ответ:

Площадь сечения ( ADA_1D_1 ) равна: [ \boxed{2}. ]

Чтобы найти площадь четырехугольника, который проходит через вершины A, D, A1 и D1 правильной шестиугольной призмы, начнем с анализа геометрии призмы.

1. Определение вершин:

   • Вершины основания (шестиугольника) обозначим как:
     • A (1, 0, 0)
     • B (1/2, √3/2, 0)
     • C (-1/2, √3/2, 0)
     • D (-1, 0, 0)
     • E (-1/2, -√3/2, 0)
     • F (1/2, -√3/2, 0)
   • Вершины верхнего основания (параллельного нижнему) будут иметь ту же координату по x и y, но z будет равно 1 (высота призмы):
     • A1 (1, 0, 1)
     • B1 (1/2, √3/2, 1)
     • C1 (-1/2, √3/2, 1)
     • D1 (-1, 0, 1)
     • E1 (-1/2, -√3/2, 1)
     • F1 (1/2, -√3/2, 1)

2. Координаты вершин четырехугольника:

   • Вершины A и D имеют координаты:
     • A (1, 0, 0)
     • D (-1, 0, 0)
   • Вершины A1 и D1 имеют координаты:
     • A1 (1, 0, 1)
     • D1 (-1, 0, 1)

3. Плоскость четырехугольника: Четырехугольник AD A1 D1 находится в плоскостях z=0 и z=1, и является прямоугольником, так как точки A и D находятся на одной горизонтали по оси X, а A1 и D1 находятся на одной горизонтали по той же оси.

4. Длина сторон:

   • Длина стороны AD (или A1D1) равна расстоянию между точками A и D: [ AD = |1 - (-1)| = 2 ]
   • Длина стороны AA1 (или DD1) равна высоте призмы: [ AA1 = |0 - 1| = 1 ]

5. Площадь четырехугольника: Площадь прямоугольника можно найти по формуле: [ S = \text{длина} \times \text{ширина} = AD \times AA1 = 2 \times 1 = 2 ]

Таким образом, площадь четырехугольника, проходящего через вершины A, D, A1 и D1, равна 2.