Найдите площадь ромба, сторона которого равна 10см, а сумма диагоналей—28см?

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то есть (d1 d2) / 2. В данном случае d1 + d2 = 28, поэтому диагонали равны 14 и 14. Подставляем в формулу: (14 14) / 2 = 98 см².

Для нахождения площади ромба, сторона которого равна 10 см, а сумма диагоналей 28 см, нам необходимо использовать формулу для нахождения площади ромба.

Площадь ромба можно найти по формуле: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

Для начала найдем длины диагоналей ромба. По условию известно, что сумма диагоналей составляет 28 см. Поскольку ромб - это параллелограмм, то мы можем разделить его на два треугольника, каждый из которых имеет длину одной из диагоналей. Таким образом, половина суммы диагоналей будет равна длине одной из них: d = 28 / 2 = 14 см.

Теперь, когда мы знаем длину диагоналей (14 см), можем найти площадь ромба:

S = (d1 d2) / 2 = (10 14) / 2 = 140 / 2 = 70 см².

Итак, площадь ромба, сторона которого равна 10 см, а сумма диагоналей 28 см, равна 70 квадратным сантиметрам.

Для нахождения площади ромба, можно воспользоваться формулой через диагонали:

[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 ]

где ( d_1 ) и ( d_2 ) — длины диагоналей.

Однако, в данной задаче известна только сумма диагоналей, а не их конкретные значения. Но мы знаем, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Давайте обозначим длины диагоналей как ( d_1 ) и ( d_2 ). Нам известно, что:

[ d_1 + d_2 = 28 ]

Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам, можно рассмотреть один из образовавшихся прямоугольных треугольников. Половины диагоналей будут катетами этого треугольника:

[ \frac{d_1}{2} \text{ и } \frac{d_2}{2} ]

Гипотенуза этого треугольника равна стороне ромба, то есть 10 см. Таким образом, можем использовать теорему Пифагора для нахождения соотношения между ( d_1 ) и ( d_2 ):

[ \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 10^2 ]

[ \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 100 ]

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

[ d_1^2 + d_2^2 = 400 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( d_1 + d_2 = 28 )
2. ( d_1^2 + d_2^2 = 400 )

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим ( d_2 ):

[ d_2 = 28 - d_1 ]

Подставим это значение во второе уравнение:

[ d_1^2 + (28 - d_1)^2 = 400 ]

Раскроем скобки:

[ d_1^2 + 784 - 56d_1 + d_1^2 = 400 ]

Соберем подобные члены:

[ 2d_1^2 - 56d_1 + 784 = 400 ]

Перенесем 400 на левую сторону уравнения:

[ 2d_1^2 - 56d_1 + 384 = 0 ]

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

[ d_1^2 - 28d_1 + 192 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ):

[ D = b^2 - 4ac ] [ D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 ] [ D = 784 - 768 ] [ D = 16 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ d_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ d_1 = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2} ] [ d_1 = \frac{28 \pm 4}{2} ]

Получаем два значения для ( d_1 ):

[ d_1 = \frac{28 + 4}{2} = 16 ] [ d_1 = \frac{28 - 4}{2} = 12 ]

Соответственно:

[ d_2 = 28 - d_1 ]

При ( d_1 = 16 ), ( d_2 = 12 ).

Теперь зная длины диагоналей ( d_1 ) и ( d_2 ), найдем площадь ромба:

[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 ] [ S = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 ] [ S = \frac{1}{2} \times 192 ] [ S = 96 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь ромба равна ( 96 \text{ см}^2 ).