Найдите площадь правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

Чтобы найти площадь правильного треугольника, зная радиус вписанной окружности, следует воспользоваться известными геометрическими формулами и свойствами правильных треугольников.

1. Нахождение стороны треугольника:

В правильном треугольнике радиус ( r ) вписанной окружности связан с длиной стороны ( a ) следующей формулой: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

Подставим значение радиуса ( r = 4 ) см в эту формулу: [ 4 = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

Решим это уравнение для ( a ): [ a \sqrt{3} = 24 ] [ a = \frac{24}{\sqrt{3}} ] [ a = 8 \sqrt{3} ]

1. Нахождение площади треугольника:

Площадь ( S ) правильного треугольника с длиной стороны ( a ) вычисляется по формуле: [ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ]

Подставим найденное значение ( a = 8 \sqrt{3} ) в формулу для площади: [ S = \frac{(8 \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} ] [ S = \frac{64 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} ] [ S = \frac{192 \sqrt{3}}{4} ] [ S = 48 \sqrt{3} ]

Итак, площадь правильного треугольника, радиус вписанной окружности которого равен 4 см, составляет ( 48 \sqrt{3} ) квадратных сантиметров.

Для нахождения площади правильного треугольника с радиусом вписанной окружности равным 4 см, нам необходимо воспользоваться формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности:

S = (a * r) / 2,

где S - площадь треугольника, a - длина стороны треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Для правильного треугольника длина стороны равна удвоенному радиусу вписанной окружности, то есть a = 2r = 2 * 4 см = 8 см.

Подставляем значения в формулу:

S = (8 * 4) / 2 = 32 см^2.

Итак, площадь правильного треугольника с радиусом вписанной в него окружности равным 4 см равна 32 квадратным сантиметрам.