Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного треугольника с катетом...

Чтобы найти площадь полной поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного треугольника с катетом 8 см вокруг его оси симметрии, нужно рассмотреть, какое тело образуется при таком вращении.

1. Определение тела вращения:

   • При вращении равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии (которая проходит через вершину угла и середину основания), образуется фигура, напоминающая конус. Если основание треугольника совпадает с осью вращения, то образуется двусторонний конус (два конуса, соединенные основаниями).

2. Характеристики треугольника:

   • Катет треугольника равен 8 см. Обозначим его как ( a = 8 ) см.
   • Гипотенуза равнобедренного треугольника будет равна ( a \sqrt{2} ) (по теореме Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника).

3. Формирование конуса:

   • Высота каждого конуса будет равна ( a = 8 ) см.
   • Радиус основания конуса будет также равен ( a = 8 ) см.

4. Площадь поверхности одного конуса:

   • Площадь боковой поверхности конуса: [ S_{\text{бок}} = \pi r l, ] где ( r ) — радиус основания (8 см), а ( l ) — образующая конуса. Образующая ( l ) равна гипотенузе треугольника: [ l = a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \text{ см}. ]

     Тогда площадь боковой поверхности одного конуса: [ S_{\text{бок}} = \pi \times 8 \times 8 \sqrt{2} = 64 \pi \sqrt{2} \text{ см}^2. ]

   • Площадь основания конуса: [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \times 8^2 = 64 \pi \text{ см}^2. ]

5. Площадь полной поверхности одного конуса: [ S{\text{полн}} = S{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 64 \pi \sqrt{2} + 64 \pi = 64 \pi (1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2. ]

6. Площадь полной поверхности двустороннего конуса: Поскольку у нас два конуса, соединенные основаниями, площадь полной поверхности будет удвоенной: [ S{\text{двойного}} = 2 \times S{\text{полн}} = 2 \times 64 \pi (1 + \sqrt{2}) = 128 \pi (1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь полной поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного треугольника с катетом 8 см вокруг его оси симметрии, составляет ( 128 \pi (1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2 ).

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой нахождения площади поверхности вращения: S = 2πrh + πr^2, где S - площадь поверхности, r - радиус вращения, h - высота фигуры.

Поскольку у нас равнобедренный треугольник, то его высота будет равна катету, то есть h = 8 см. Радиус вращения r равен половине основания треугольника, то есть r = 4 см.

Теперь подставим все значения в формулу: S = 2π 4 8 + π * 4^2, S = 64π + 16π, S = 80π.

Итак, площадь полной поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного треугольника с катетом 8 см вокруг оси симметрии, равна 80π квадратных сантиметров.