Найдите площадь полной поверхности правильной треуголной пирамиды,если двугранный угол при стороне основания...

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно сложить площади её основания и всех боковых граней.

1. Основание пирамиды: Основание пирамиды — правильный треугольник. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной ( a ), выражается через его сторону формулой: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] В нашем случае ( R = 2 ), поэтому: [ 2 = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = 2\sqrt{3} ]

   Площадь правильного треугольника со стороной ( a ): [ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = 3\sqrt{3} ]

2. Боковые грани пирамиды: Пирамида имеет три боковые грани, каждая из которых — равнобедренный треугольник.

   Двугранный угол при стороне основания равен 30°. Это означает, что угол между двумя высотами боковых граней, проведёнными из вершины пирамиды к серединам сторон основания, равен 30°.

   Высота правильного треугольника (основания) выражается через сторону ( a ) формулой: [ h_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 3 ]

   Обозначим высоту пирамиды через ( h ). Высоту бокового треугольника ( H ) можно найти через высоту пирамиды ( h ) и высоту основания треугольника ( h_{\text{осн}} ) с использованием тригонометрии: [ H = \frac{h}{\cos(15^\circ)} = \frac{h}{\cos(30^\circ / 2)} = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2h}{\sqrt{3}} ]

   Теперь выразим боковую грань через её основание и высоту: Площадь одного бокового треугольника: [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} = 2h ]

   Высоту ( h ) можно найти, зная, что ( \tan(30^\circ) = \frac{h}{r} ), где ( r ) — радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: [ \tan(30^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \frac{h}{\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}} = h ] [ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies h = \frac{3}{\sqrt{3}} = 1 ]

   Полная площадь боковых граней: [ S_{\text{бок}} = 3 \cdot 2h = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 ]

3. Полная площадь поверхности пирамиды: Сложим площади основания и боковых граней: [ S{\text{полная}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 3\sqrt{3} + 6 ]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна ( 3\sqrt{3} + 6 ) квадратных единиц.

Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. По формуле суммы площадей боковых граней: S = S_основания + S_боковой S = 3 (a^2 sqrt(3) / 4) + 3 a l / 2 S = 3 (2^2 sqrt(3) / 4) + 3 2 2 sin(30) S = 3 (2 sqrt(3)) + 6 S = 6 sqrt(3) + 6

Ответ: Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна 6 * sqrt(3) + 6.

Для нахождения площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды сначала найдем высоту пирамиды.

Радиус описанной окружности равен 2, значит сторона треугольника, образующего основание пирамиды, равна 4 (так как радиус вписанной окружности равен половине стороны треугольника, образующего основание, и радиус описанной окружности равен половине стороны треугольника, образующего основание).

Так как угол при основании равен 30 градусам, то угол между боковой гранью и основанием равен 60 градусам (так как сумма углов треугольника равна 180 градусам).

Теперь найдем высоту пирамиды. Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника, один из которых имеет катет равный половине стороны основания (2) и угол между гипотенузой (высотой пирамиды) и катетом равным 60 градусам. Таким образом, высота пирамиды равна 2 sin(60) = 2 √3 / 2 = √3.

Теперь можем найти площадь полной поверхности пирамиды, используя формулу: S = 0.5 П p + S основания, где П - периметр основания, p - высота пирамиды, S основания - площадь основания.

Посчитаем площадь полной поверхности пирамиды: S = 0.5 3 4 * √3 + 6 = 6√3 + 6.

Итак, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна 6√3 + 6.